好的，评论区承诺的答案来了。让我们从另一个角度开始，从一般网格到高斯网格以及光谱元素等进一步的构造。

在网格方法中，基本上选择了一些$N+1$网格点$\{x_k\}_{k=0}^{N}$. 作为基函数，可以使用在这些节点上构建的拉格朗日多项式，每一个都具有多项式阶$N$. 对于此设置，使用类似 Newton-Cotes 的正交权重$w_k$（参见例如here），一个人获得了一种求积方法，该方法能够对任何阶多项式进行积分$N$. 对于一般的网格点分布，这是你能得到的最好的。

现在，如果你想评估质量矩阵的积分，$M_{ij} =\int_{-1}^1 w(x) L_i(x) L_j(x)\,dx$，一个基本上有两种选择：

1. 使用隐含求积法评估$M_{ij} = \sum_{k=0}^N w_k L_i(x_k)L_j(x_k) = w_{i}\delta_{ij}$从而获得对角质量矩阵。从所涉及的多项式阶数可以很容易看出，求积只是一个近似值（被积函数有阶数$2N$, 但求积法则只对阶准确$N$）。
2. 使用任何其他求积方法，通常是对所涉及的多项式阶数准确的求积方法。然而，这通常不会导致对角质量矩阵。

你看，无论哪种方式都不是最佳的。使用在网格上定义的基函数以及相应的正交规则的一般构造是正交的或准确的（在多项式意义上）。

输入高斯积分：这个想法是，通过使用特殊的网格和权重，可以获得精确到有序的积分$2N+1$. 这很好，因为这些特殊网格基本上解决了之前显示的一般网格的冲突。这样，一个人同时获得了上述第 1 点和第 2 点的好处，即同时获得正交和准确的基。（甚至可以根据质量矩阵的要求多得到一个积分阶，因此也可以积分空间算子“$x$” 确切地说。这个事实源于三项递推公式）。

现在，高斯网格并不总是适合模拟现实世界的问题。例如，对于边界问题，在网格边界处规定函数值是很方便的。这导致了 Gauss-Lobatto 构造，其中一个固定点$x_0=-1$和$x_N=1$. 这样当然会损失积分精度，而Lobatto的结果是损失尽可能小的网格分布，也就是两阶，这样就得到了精确到阶的积分方法$2N-1$. 现在您遇到了如上所示的相同问题，因为质量矩阵已经没有被精确评估。正如评论中已经提到的，一种常见的方法是选择备选方案 1。并愿意接受近似值（这只是“精确”的一个多项式阶数）。

Gauss-Lobatto 网格现在也提供了一种方便的方法来构造谱元素，它基本上是将几个 GL 网格粘在一起，并将对应于边界节点的基函数以连续的方式连接起来。这里的好处是，可以获得带状和更好的条件导数矩阵，并且至少在元素内部的积分精度非常高（但不是跨元素）。正如评论中已经提到的，FE-DVR 是这个想法在量子力学中大量使用的一个实例，但这个想法本身更古老，至少可以追溯到1977 年 scicomp 用户@L.Young 的一篇论文。