这可能是一个愚蠢的问题，但我对有限元的理论性质知之甚少，所以就这样吧。假设您要使用有限元求解具有空间变化波速的亥姆霍兹方程（比如说二维）。作为参考，方程为 这是一个散射问题，源项是限于域边界上的狄利克雷值。我的问题是，当域很大时（比如十个或更多波长（我认为这个大，它可能不是）），能量守恒有多好？更准确地说，作为域大小的函数，你可以对能量守恒作出什么样的保证？

$$[\nabla^2 + k^2(\vec{r})]\psi(\vec{r}) = f(\vec{r})$$

现在假设线性元素（在实践中，我们使用有限差分，有很大的差异吗？）因为是分段常数，所以高阶不是很有帮助。我希望我没有透露太多我对这个问题的无知！$k(\vec{r})$

编辑：我指的是“直观”意义上的能量。我主要使用麦克斯韦方程组，它在二维中以恒定频率变为亥姆霍兹方程。我相信一点能量流的数学定义是，或者类似的东西（它应该是坡印廷向量）。能量守恒会说，在无源区域中，沿区域边界的表面法线方向上的能量积分应该为零。直观地说，我应该从点源准确地看到波遵守平方反比定律（或任何它的 2D 模拟）。$\Psi\nabla \Psi$

另外，我意识到有限差分和有限元之间存在差异。如果你能评论两者，那就更好了。