我正在使用形式的热方程。

$$\frac{d(\rho(T)c_p(T)T)}{dt}-\nabla\cdot(k(T)\nabla T)=f$$ 具有与温度相关的密度、比热和热导率。通常这会导致需要求解的非线性方程组。我正在寻找任何其他方法来解决这个问题，而不是在每个时间步都使用非线性求解。 $\rho(T)$$c_p(T)$$k(T)$

我在 Reddy & Garling 的The Finite Element Method for Heat Transfer and Fluid Dynamics中找到了一种方法。在其中，他们采用准线性化方法，尝试使用来自先前时间步、的值，使用以下表达式${n+1}$$T_n$$T_{n-1}$

$$T^*=\frac{3}{2}T_n-\frac{1}{2}T_{n-1}$$

因此，对于用于离散方程的任何时间步长方案，可以使用评估方程的系数；从而线性化方程。$T^*$

作者没有严格解释这种技术何时适用，只说明它适用于“轻度非线性问题”。我不确定一般如何量化非线性，更不用说传热问题了。我尝试搜索有关这种技术的文献，但很难找到，因为作者并没有真正给它命名。它似乎是使用 3 点插值的某种有限差分外推。如果是这样，我认为它适用于温度大致呈线性或二次的系数。有没有办法我可以严格证明这一点？如果不是，我如何在这个问题的背景下量化“轻度非线性”？