计算科学 - 生成近似满足约束的近似半正交高矩阵 - 吾爱随笔录

生成近似满足约束的近似半正交高矩阵

计算科学线性代数优化矩阵本征系统矩阵方程

2021-12-19 05:39:20

我有一组矩阵用于，其中： $\{(A_i,D_i)\}$ $i\in\{1,\ldots,n\}$

每个都是对角线，并且主对角线上的每个条目都是非负的。 $D_j\in\mathbb{R}^{S\times S}$
每个是对称且正定的，每个条目都是非负的。 $A_j\in\mathbb{R}^{m\times m}$

我想找到一个矩阵使得：然而，一切都是嘈杂的（意味着和总是有一些随机扰动）。这意味着（我假设）我需要类似：对于一些矩阵范数（例如 Frobenius）和（超）参数。但是，我对确切的配方并不太挑剔，所以请随意调整它。例如，也许有一种方法可以使正交性成为硬约束。 $B\in\mathbb{R}^{m\times S}$

A_{i} \approx B D_{i} B^{T} \forall 1 \leq i \leq n B^{T} B \approx I

$A_i \approx B D_i B^T \;\;\;\forall\;\;\;1\leq i \leq n \\ B^TB\approx I$

A_{i}

$A_i$

D_{i}

$D_i$

B^{*} = \arg min_{B} α | | B^{T} B - I | | + β \sum_{i = 1}^{n} | | A_{i} - B D_{i} B^{T} | |

$B^* = \arg\min_B \;\alpha||B^TB - I|| + \beta\sum_{i=1}^n || A_i - BD_iB^T||$

α, β \in R

$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$

我的问题：如何解决上述优化问题？

我试过什么：嗯，这让我想起了一个特征值分解问题（如果尤其如此），但我有一组我想同时满足的问题。一件奇怪的事情是是已知的，或者至少是估计的（尽管有噪声）。我的第一个想法是以某种方式将其重新排列成一个线性系统，但我无法这样做（到目前为止）。 $n=1$ $D_j$

如果有一些我可以研究与这个问题有关的文献，那将是一个足够好的答案。对于缺乏优化/数值线性代数知识，我深表歉意。

注意：我已经尝试在 math stack exchange 上发布此内容，但无济于事。

1个回答

让我们考虑最简单的情况，即的情况。稍微改写： $n = 1$

给定

对称正定矩阵 $\mathrm A \in \mathbb R^{m \times m}$

正半定对角矩阵 $\mathrm D \in \mathbb R^{p \times p}$

找到一个高矩阵与正交列使得或。 $\mathrm X \in \mathbb R^{m \times p}$ $\rm A \approx X D X^\top$ $\rm A X \approx X D$

中有以下非凸优化问题 $\mathrm X \in \mathbb R^{m \times p}$

\begin{array}{ll} minimize & ‖ A X - X D ‖_{2} \\ subject to & X^{⊤} X = I_{p} \end{array}

$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \| \mathrm A \mathrm X - \mathrm X \mathrm D \|_2\\ \text{subject to} & \mathrm X^\top \mathrm X = \mathrm I_p\end{array}$

定义的可行域是一个Stiefel 流形，其凸包由，或者等价地，通过不等式。因此，原始优化问题的凸松弛是 $\mathrm X^\top \mathrm X = \mathrm I_p$ $\mathrm X^\top \mathrm X \preceq \mathrm I_p$ $\| \mathrm X \|_2 \leq 1$

\begin{array}{ll} minimize & ‖ A X - X D ‖_{2} \\ subject to & ‖ X ‖_{2} \leq 1 \end{array}

$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \| \mathrm A \mathrm X - \mathrm X \mathrm D \|_2\\ \text{subject to} & \| \mathrm X \|_2 \leq 1\end{array}$

令表示松弛问题的解。如果和，那么我们可能有一些我们可以调用原始问题的解决方案。 $\rm {\bar X}$ $\rm {\bar X}^\top \rm {\bar X} \approx \mathrm I_p$ $\rm A {\bar X} \approx \rm {\bar X} D$

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