免责声明

在输入这个问题的过程中，我确定了它的解决方案。由于我遇到了完整输入问题的麻烦，因此我也会发布其答案。它可能会帮助其他发现自己处于同样困境的人。如果您愿意，可以将其视为一种博客文章。

目标

考虑混合边值问题

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\left(k(x)\frac{du}{dx}\right)=f \text{ in }\Omega\\ u=P \text{ at } x=0\\ \frac{du}{dx}=T \text{ at } x=1 \end{align}$$ 其中$P$和$T$是常数，$f$是源项。

我正在使用有限差分，我的目标是以实现二阶精度的方式在$x=1$假设网格有$N+1$个等距点（包括边界点），给出为$x_0,x_1,...,x_N$

我的方法

在右边界，使用二阶中心差作为边界条件

$$\begin{equation} \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{\Delta x}=T\end{equation}$$

和二阶导数运算符为：

$$\begin{align} \frac{k_{N+\frac{1}{2}}\frac{u_{N+1}-u_{N}}{\Delta x} -k_{N-\frac{1}{2}}\frac{u_{N}-u_{N-1}}{\Delta x}}{\Delta x}=f_i\end{align}$$

我们可以求解第一个方程中的鬼点$U_{N+1}$，代入第二个方程并化简。

问题

使用这种离散化需要评估$k_{N+\frac{1}{2}}=k(x_N+\frac{\Delta x}{2})$，这在域之外！一般来说，$k(x)$只在域内定义，我不能/不应该使用它之外的值。因此，我认为这不是实现二阶精度的正确方法。在这种情况下我还能做什么？