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任务：

我们正在使用以下算法来求解二次方程$x^2+2px+q=0$：

$x_1=|p|+\sqrt{p^2-q}\mathtt{;}$

$\mathtt{if}\,p>0\,\mathtt{then}\,x_1=-x_1\mathtt{;}$

$x_2=q/x_1\mathtt{;}$

指出运行此算法可能会遇到重大问题的两个地方。如何缓解这些问题？

这是我的猜测：第一个地方是：$p^2-q$，我们在这里冒着灾难性取消的风险；第二个地方是：$q/x_1$，如果我们得到一个 NaN$x_1$是$0$.

第二个似乎很简单：绝对更大的根的唯一方法$0$是当两个根都$0$，这意味着$p=q=0$; 我们可以测试这种情况。

不过，我不知道如何缓解第一个问题。我想不出在不计算判别式的情况下求解二次方程的方法，而计算其判别式确实需要减法。当然，这可能会导致灾难性的取消。

在计算二次函数的判别式时，有什么方法可以避免灾难性的抵消？

编辑：根据评论的要求，将附加信息从答案转移到问题：

哈。关于$x_1=|p|+\sqrt{p^2-q}$. 另一位学生今天争辩说这不是问题：据他说，只有在以下情况下才会发生灾难性取消$p^2\approx q$; 但是之后$\sqrt{p^2-q}\approx 0$而且$|p|\gg\sqrt{p^2-q}$; 所以判别式本身和计算时引入的任何错误在计算时都失去了意义$x_1$. 教授说他得考虑一下。如果/当他完成思考时，我会在这里发布更新。

但是，还有一个问题我没有注意到。即，如果$p$很大，那么$p^2$可能溢出；但是之后$\sqrt{p^2-q}$即使其准确值符合数字格式的范围，也会溢出；所以$x_1$将被虚假设置为$\infty$. 为了避免这种情况，教授说，$p$如果它足够大，则需要重新调整。