计算科学 - 和有什么区别你Huh和一世H（你）Ih(u)在有限元文献中？ - 吾爱随笔录

和有什么区别你Huh和一世H（你）Ih(u)在有限元文献中？

计算科学有限元数字插值

2021-12-08 09:05:29

在有限元书籍中，我们估计

| | u - u_{h} | |

$||u-u_h||$ 以及估计

| | u - I_{h} (u) | |

$||u - I_h(u)||$ 在哪里

I_{h} (u) : V \mapsto V_{h}

$I_h(u): V \mapsto V_h$ 将函数从无限维空间投影到有限维空间。例如，

V = H^{1}

$V = H^1$ 和

V_{h} \subset V

$V_h \subset V$ 是度的分段多边形的集合

r

$r$ .

和有什么区别 $u_h$ 和 $I_h(u)$ ?

这是我的尝试：

通常插值定义为（只要点评估有意义）

I_{h} (u) (x) = \sum_{i = 1}^{N} u (x_{i}) ϕ_{i} (x)

$I_h(u)(x) = \sum_{i=1}^N u(x_i)\phi_i(x)$

另外，我们知道 $u_h \in V_h$ , 所以一定存在一组系数 $\{U_i\}_i$ （称为自由度）使得

u_{h} (x) = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} ϕ_{i} (x)

$u_h(x)= \sum_{i=1}^N U_i \phi_i(x)$

所以在我看来 $u_h$ 和 $I_h(u)$ 非常相似，但唯一的区别在于系数：如果 $U_i$ 恰逢 $u(x_i)$ 对于每个 $i$ ，则插值与离散解一致 $u_h$ . 在实践中，我们得到 $\{ U_i\}_i$ 通过求解线性系统，所以它们不等于 $u(x_i)$

2个回答

另一个答案包含您已经需要的一切，但也值得指出 $u_h$ 是可计算的，而 $I_hu$ 不是：后者要求您知道确切的解决方案，通常我们当然不知道（如果我们知道，我们不需要计算 Galerkin 近似值 $u_h$ ）。

让我们假设 $u$ 是变分问题的解和 $u_h$ 是子空间上解的 Galerkin 近似 $V_h \subset V$ .

根据 Cea 引理，您有：

| | u - u_{h} | |_{V} \leq C inf_{v_{h} \in V_{h}} | | u - v_{h} | |_{V}

$\begin{equation} ||u-u_h||_V \leq C\inf\limits_{v_h \in V_h}||u-v_h||_V \end{equation}$ 对于一些正常数。现在您定义投影。正如您已经提到的，如果涉及点评估，您需要足够平滑，以便得到很好的定义。如果我们有足够的平滑度，我们可以陈述不等式：因为根据定义。因此总体而言：

C

$C$

I_{h} : V \to V_{h}

$I_h:V \rightarrow V_h$

I_{h}

$I_h$

u

$u$

I_{h} (u)

$I_h(u)$

inf_{v_{h} \in V_{h}} | | u - v_{h} | |_{V} \leq | | u - I_{h} (u) | |_{V}

$\begin{equation} \inf\limits_{v_h \in V_h}||u-v_h||_V \leq ||u-I_h(u)||_V \end{equation}$

I (u) \in V_{h}

$I(u)\in V_h$

| | u - u_{h} | |_{V} \leq C | | u - I_{h} (u) | |_{V}

$\begin{equation} ||u-u_h||_V \leq C||u-I_h(u)||_V \end{equation}$ 因此，您可以从估计中看到两个范数相等的可能性，但通常情况并非总是如此，这取决于您如何准确定义。

I_{h}

$I_h$

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