计算科学 - 极坐标中 r=0 处的 Neumann 边界条件（数值 BC） - 吾爱随笔录

极坐标中 r=0 处的 Neumann 边界条件（数值 BC）

计算科学 pde 有限差分边界条件

2021-12-12 11:22:58

我之前已经问过这方面的一个问题。我正在尝试在极坐标中求解以下方程：

u_{t} - (u_{r r} + \frac{1}{r} * u_{r} + \frac{1}{θ} * u_{θ θ} + b u) = f (r, θ, t)

$u_t - (u_{rr} + \frac{1}{r} * u_r + \frac{1}{\theta} * u_{\theta\theta} + bu) = f(r,\theta, t)$

我正在构建一种有限差分方法来解决上述 pde。我假设解决方案具有以下形式：

u (r, θ, t) = e^{- t} r^{2} * S i n (2 θ)

$u(r,\theta, t) = e^{-t} r^2 * Sin(2\theta)$

显然，。 $\frac{\partial u}{\partial r}|_{r=0} = 0$

我的问题是，我该如何强加这个？我已经看到一些文件假设解决方案在处是轴对称的，因此仅沿径向线求解，同时假设原点左侧的虚节点并最终消除了使用 FD 方案. 对我来说，即使，我假设的解决方案也不是轴对称的（关于 z 轴）。 $r=0$ $u_{-1}$ $\frac{\partial u}{\partial r}|_{r=0}$

有人可以用这张图片作为例子来解释吗？

极地离散化

谢谢！

2个回答

一个想法是不要在中心（r = 0）离散化。您将点成对放置在中心附近，使每对点形成一条穿过中心的线。然后这些点的有限差分模板正好穿过中心；和你的图一模一样，除了 $u_0$ 不应该放。

这样，您不需要边界条件 $r=0$ ; 后者几乎不是物理的，而只是由于极坐标。

有趣的是，极坐标中的 FEM 遇到了困难；请参阅如何在扇区元素中进行 FEM？

处没有边界条件。边界条件是您可以在（部分）边界处施加的东西。换句话说，有自由：您可以为边界值选择不同的值并获得不同的解决方案。但在柱面或球面坐标系的情况下，不能强加或。在第一种情况下，这是因为对于椭圆偏微分方程（以及许多其他方程），解仅在中，并且没有很好地定义取点值。在后一种情况下，这是因为除了零值之外你不能强加任何东西。 $r=0$ $u(r=0,\theta)=\text{something}$ $\frac{\partial u(r=0,\theta)}{\partial r}=\text{something}$ $H^1$

换句话说，条件不是边界条件。这是解决方案必须满足的兼容性条件，但不是您可以强加的条件。正确地说，您最好选择一个也满足此兼容性条件的数值方案。 $\frac{\partial u(r=0,\theta)}{\partial r}=0$

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