我正在尝试为斯托克斯方程推导出 Galerkin 类型的弱公式。我在按部分协调集成中的符号时遇到了一些问题。我知道我正在寻找的答案是： $\int_\Omega \Delta\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}d\Omega = \int_\Gamma (\mathbf{n}\cdot\nabla\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}d\Gamma - \int_\Omega \nabla\mathbf{u}:\nabla\mathbf{v}d\Omega$

当我自己按部分集成时，我得到： $\int_\Omega \nabla u\cdot\mathbf{v}d\Omega = \int_\Gamma u(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})d\Gamma - \int_\Omega u \nabla\cdot\mathbf{v}d\Omega\\\ \quad\quad\quad \Rightarrow \int_\Omega\Delta\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}d\Omega = \int_\Omega (\nabla\cdot (\nabla\mathbf{u}))\cdot\mathbf{v}d\Omega = \int_\Gamma \nabla\mathbf{u} (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})d\Gamma - \int_\Omega\nabla\mathbf{u}\nabla\cdot\mathbf{v}d\Omega$

我假设我应该使用点积来进行向量/矩阵乘法，但即便如此，我也无法将我的答案与我所知道的正确答案相协调。例如线积分应该是一个标量，但我的回答$\nabla\mathbf{u}$ 是一个矩阵并且$\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}$是一个标量，所以我看不出他们的产品怎么可能是一个标量。

我确实注意到我使用的公式适用于标量$u$的。是否有另一个身份我应该在什么时候使用$u$是向量吗？