平方根是一个相对困难的数学运算。因此，可以合理地假设在IEEE-754 之前的主导世界中，参数范围可能会显着影响SQRT. 特别是，正如@njuffa 在评论中提到的那样

... IBM System/360 十六进制浮点格式的摆动精度

但是，在这种相对良性的重新缩放的情况下，我找不到对此的确认。

已经对精确、快速和高效的平方根算法进行了大量研究

在过去：

• CT Fike，“在 IBM system/360 上开始近似平方根计算”，Comm。ACM，卷。9，没有。4，1966 年 4 月。

甚至在不久的将来，

• P. Kornerup，J.-M。Muller，“为某些 Newton-Raphson 迭代选择起始值”，理论计算。Sc。, 卷。351，没有。1，第 101-110 页，2006 年 2 月。
• C.-P。让纳罗德等人。，“整数处理器的更快浮点平方根”，在Int 中。症状。工业嵌入式系统 ，葡萄牙里斯本，2007 年 7 月

但是，我不明白为什么范围$[0.25,0.5]$会比$[1,2]$. 特别是从使用指南SQRT的角度来看，即使是在 IEEE-754 之前的时代。

例如，参见手册IBM System/360 FORTRAN IV Library Subprograms, 1966。在那里，第 39 页的表 12“性能统计”给出了不同 IBM System/360 模型中各种数学函数的准确度/速度性能。

虽然（在此表中）某些数学函数具有不同的精度/速度性能，但DSQRT被列为整个参数值范围的单个条目。最后，可能没有建议限制SQRTIBM System/360 的范围（顺便说一句，即使是 complex CSQRT）。

虽然有无数其他平台，但我认为没有太多需要阅读 SLATEC 代码的特殊细节。

出于您的目的：

• 使用 IEEE-754 对您的 C++ 翻译无关紧要
• 一定要看看通常实现了 Givens 旋转的现代 BLAS/LAPACK 实现。（例如，英特尔 MKL rotg、lartg、larot。实际上您不太可能必须自己实现此功能。
• 以下技术说明：D. Bindel等人。，“关于可靠和有效地计算吉文斯旋转”提供了很多关于吉文斯旋转和它们的数值问题的信息。相当有趣的阅读。

以这种方式安排计算的动机几乎可以肯定是在使用 IBM System/360 的十六进制浮点格式进行计算时精度不稳定的问题。在那里，尾数被归一化，使得$num = \pm 16^{e} \cdot f$， 和$\frac{1}{16} \le f \lt 1$. 这意味着尾数的最多三个前导位可以为零。

在R1UPTD,$c = \max (|v_{n}|, |v_{j}|) / \min (|v_{n}|, |v_{j}|) \le 1$， 意思就是$1 \le 1 + c^{2} \le 2$，因此$1 \le \sqrt{1 + c^{2}} \le \sqrt{2} \lt 2$. 因此$\sqrt{1 +c^{2}} = 16^{1} \cdot f$， 在哪里$\frac{1}{16} \le f \lt \frac{1}{8}$. 这意味着平方根结果的前三位将为零，从而导致计算精度降低。

缩放$0.25$平方根的结果减半，所以$\sqrt{0.25 + 0.25 \cdot c^{2}} = 16^{0} \cdot f$， 在哪里$\frac{1}{2} \le f \lt 1$，这意味着尾数中没有前导零位，并且保留了完整的准确性。

参见：WJ Cody，“数值子程序库的构建”，SIAM 评论，卷。16.，第 1 期，1974 年 1 月，第 36-46 页。

在具有基于 IEEE-754 标准的二进制浮点算法的现代平台上，不需要这种缩放，并且大多数编程环境都包含一个标准函数hypot(x,y)，用于计算$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$具有最佳精度并消除了中间计算中的溢出或下溢问题。一些环境还提供rhypot(x,y)计算功能$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$并且完全符合吉文斯轮换的需要。