计算科学 - 非散度椭圆方程的有限元法 - 吾爱随笔录

FEM 通常与弱形式的 PDE 一起使用。但是对于非散度形式的椭圆算子

- a_{1} (x, y) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - a_{2} (x, y) \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}

$-a_1(x,y) \frac{\partial^2}{\partial x^2} - a_2(x,y) \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 或其他非分歧形式

- \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} a_{1} (x, y) \cdot - \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} a_{2} (x, y) \cdot

$-\frac{\partial^2}{\partial x^2}a_1(x,y)\cdot - \frac{\partial^2}{\partial y^2} a_2(x,y)\cdot$

是否不可避免地涉及衍生品 $\partial_x a_1(x,y), \partial_y a_2(x,y)$ ? 使用FD（有限差分）或搭配方法而不是Galerkin FE更好吗

更新：由于我刚从2013 年瑞士数值讨论会回来，Endre Suli 就完全非线性的 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的 DG 近似做了一个精彩的演讲，它涉及一个非散度形式的椭圆方程有非光滑系数。他对FD方法给出了很好的评价，并提出了高阶DG方法。他的论文可以在这里找到。我希望有兴趣的人也能喜欢他的论文。纯娱乐！