计算科学 - 数值方法误差的范数选择 - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限差分

2021-11-27 12:31:56

当我阅读有关有限差分的书籍时，他们通常最终使用离散 $L^2$ 估计误差的规范，因为它自然是由弱公式引起的。我想知道人们是否在 Sobolev 规范中这样做以及何时有用。我至少在有限差分书中没有看到任何内容。

更具体地看一下

A u = f,

$Au=f,$ 假设在哪里

A_{h}

$A_h$ 是一些近似值

A

$A$ 和

U

$U$ 是系统的数值解。那么如果我们插入实际的函数

u

$u$ 进入

A_{h} U = f

$A_hU=f$ 和我们有的子结构

A_{h} (u - U) = τ

$A_h(u-U)=\tau$ 为了

τ

$\tau$ 是本地错误。因此我有一个误差方程

e = A_{h}^{- 1} τ

$e=A_h^{-1}\tau$ 如果我使用离散的 Sobolev 范数，我将面临什么问题？那会是什么，它应该涉及导数估计，但是我可以为局部截断误差做一个吗？

谢谢！

2个回答

也许是关于使用动机的说明 $L^2$ -错误。在偏微分方程的输入中估计误差是很自然的 $L^2$ -规范。其数学动机是高斯-马尔可夫定理：

它指出，如果您的测量满足直观的概率定律，那么基于测量的最小二乘近似将以高概率提供最佳近似。这种范数的选择在偏微分方程中传播，所以你以 $L^2$ -Sobolev 规范。

现在我们也可以将这个范数用于 Galerkin 方法中的误差估计，主要是因为我们不知道如何估计误差。

离散的 $H^1$ 错误的范数很简单 $\sqrt{e^T A_h e}$ , 所以你立即得到方程

e^{T} A_{h} e = e^{T} τ = e^{T} A_{h}^{T / 2} A_{h}^{- 1 / 2} τ

$e^T A_h e = e^T \tau = e^T A_h^{T/2} A_h^{-1/2} \tau$ 因此

e^{T} A_{h} e \leq \sqrt{e^{T} A_{h} e} \sqrt{τ^{T} A_{h}^{- 1} τ}

$e^T A_h e \le \sqrt{e^T A_h e } \sqrt{\tau^T A_h^{-1} \tau}$ 和

‖ e ‖_{H^{1} discrete} = \sqrt{e^{T} A_{h} e} \leq \sqrt{τ^{T} A_{h}^{- 1} τ}

$\|e\|_{H^1 \textrm{discrete}} = \sqrt{e^T A_h e} \le \sqrt{\tau^T A_h^{-1} \tau}$ 您将右侧的术语视为始终存在截断错误。

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