您可能希望研究边界积分方程 (BIE) 方法。这些将齐次（迫零）偏微分方程重新表述为几何边界上的积分方程，从而减少$d$维问题$d-1$维度问题。这些通常是处理复杂和移动几何的最灵活的方法。

在您的情况下，您只需要解决沿几何边界的密度（然后用于计算内部解决方案）的一维问题。在这些方法中产生的系统更小且条件良好（通常），但通常是完全密集的。然而，最近的一些发展也使得这些问题的数值离散化更容易处理（特别是 Greengard/Rokhlin 的快速多极方法、高级正交规则，以及 Martinsson、Gillman、Bremer 将这些想法推广到 H 矩阵和代数设置的工作） ，以及其他一些）。

替代方法是使用基于体积的方法，例如有限元，并使用诸如 Delaunay 三角剖分或更强大的网格生成器（这对您的几何图形来说不会太难）对几何图形进行网格划分。您还可以查看切割单元/浸没边界方法，在该方法中使用结构化网格来表示解决方案，并仅在其相交的单元中考虑复杂的边界。

由于您的方程式与时间无关，因此您似乎拥有一系列解耦的问题（每个瞬间都有一个问题）。如果我错了并且它们之间存在一些耦合，您应该澄清您的问题。

任何解决任意域抛物线问题的方法都可以正常工作。最著名的是标准有限元方法。

如果您对数值（近似）解决方案感兴趣，我会推荐（并且我使用它）的众多方法之一是“浸入式界面”方法（或其他几种类似名称的类似方法，如幽灵流体方法等）。在这种情况下，您需要在边界的（移动和固定部分）上指定边界条件。

这个想法是您的移动边界表示为某个函数的零集（水平集函数，通常是有符号距离函数）。要数值求解拉普拉斯方程，您可以在结构化（四边形）网格上使用非常简单的有限差分法，该网格始终涉及您的移动边界。由于您只想为水平集函数为负而不是正的网格节点解决它，因此您必须为边界旁边的节点应用一些“扩展”（外推）。如果移动边界上的边界条件是 Dirichlet 类型（规定了解的值），那么这个扩展很简单。

由于我不确定您是否对数值解感兴趣，所以我在这里停止描述。作为文学作品，我推荐：

F. Gibou，RP Fedkiw，LT Cheng，M. Kang，不规则域上泊松方程的二阶精确对称离散化，J. Comput。物理。176 (2002) 205-227

可以在网上找到，你应该只寻找处理泊松方程的东西。

我正在使用这种方法来移动地下水位：

P. Frolkovič：水平集方法在移动边界地下水流中的应用。水资源进展，第 47 卷，2012 年 10 月，第 56-66 页

精美的动画;-) 下面