计算科学 - 离散无散函数 - 吾爱随笔录 - 问答

离散无散函数

计算科学有限元数字纳维斯托克斯无分歧

2021-12-17 16:58:19

我正在研究 NS 方程的弱公式。在分析过程中，我正在使用的书（Quarteroni-Valli，第 301-302 页）定义

Z_{h} = {v_{h} \in V_{h} : (div (v_{h}), q_{h}) = 0 \forall q_{h} \in Q_{h})

$Z_h=\{v_h \in V_h: (\operatorname{div}(v_h),q_h)=0 \quad \forall q_h \in Q_h)$

其中和有限维子空间。在这里我们可以设置和。 $Q_h \subset Q$ $V_h \subset V$ $V=[H_0^1(\Omega)]^d$ $Q = L^2(\Omega)$

他们说：“的元素不一定是无散的 $Z_h$ 。所以，我需要说明的是 Q_h

(div (v_{h}), q_{h}) = 0 \forall q_{h} \in Q_{h}

$(\operatorname{div}(v_h),q_h)=0 \quad \forall q_h \in Q_h$

div (v_{h}) = 0

$\operatorname{div}(v_h)=0$

假设 Taylor-Hood 元素，即，我该如何找到反例？非常感谢任何帮助 $P^2-P^1$

1个回答

如果您选择例如和使得您将获得无散度。（这种对的一个例子是 Scott-Vogelius 元素） $Z_h$ $V_h$ $Q_h$ $\forall v_h\in V_h(div(v_h)\in Q_h)$ $V_h=P^k,Q_h=P^{k-1}_{discont}$

因为如果你采取它满足 $v_h\in Z_h$ $(div(v_h),q_h)=0 \ \forall q_h\in Q_h$ . 现在通过特殊的选择 $V_h$ 和 $Q_h$ 以上我们可以修复 $q_h=div(v_h)$ 因此得到 $(div(v_h),div(v_h))=0\Rightarrow div(v_h)=0$ . 所以你看看如果你没有这个属性，那 $div V_h\subseteq Q_h$ ，你可能不明白 $Z_h$ 是无分歧的。

以 Taylor Hood 元素为例 $V_h:=P^k$ 和 $Q_h:=P^{k-1}$ 那么对于我们看到的弱发散 $div(v_h)\in P^{k-1}_{discont}\not\subseteq P^{k-1}$ 因此你不能认为对于这个选择是没有分歧的。 $Z_h$

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