计算科学 - 将三重嵌套循环计算为卷积乘积？ - 吾爱随笔录

我正在尝试有效地计算以下内容

A_{j} = \sum_{l^{'} = 1}^{\infty} \sum_{k = 0}^{K - 1} L_{l^{'}} T_{k} e^{2 π i \frac{k}{K} j} ϵ_{l^{'}, k}

$\begin{equation} A_j = \sum_{l'=1}^{\infty}\sum_{k= 0}^{K-1} L_{l'}T_ke^{2\pi i \frac{k}{K}j}\epsilon_{l',k} \end{equation}$ 为了

j = 0, 1, \dots, K - 2, K - 1

$j = 0,1, \ldots, K-2,K-1$ ，在哪里

L_{l}

$L_l$ (维数 ) 和 (维数 ) 是复数的一维向量，而是复数的二维矩阵 (维数 : )。

N L

$NL$

T_{k}

$T_k$

W

$W$

ϵ

$\epsilon$

L \times W

$L \times W$

在数值上，我对从到进行求和，其中是一个整数，必须选择足够大（以满足在这种情况下不重要的条件），因此产生的截断求和的索引取模。 $l'$ $1$ $NL$ $N$

A_{j} = \sum_{l^{'} = 1}^{N L} \sum_{k = 0}^{K - 1} L_{l^{'}} T_{k} e^{2 π i \frac{k}{K} j} ϵ_{l^{'} mod L, k},

$\begin{equation} A_j = \sum_{l'=1}^{NL}\sum_{k= 0}^{K-1} L_{l'}T_ke^{2\pi i \frac{k}{K}j}\epsilon_{l'\text{mod} L,k}, \end{equation}$

l^{'}

$l'$

ϵ_{l^{'} mod L, k}

$\epsilon_{l'\text{mod} L,k}$

虽然根据三个嵌套 for 循环（两个用于上述 double sum 和第三个用于所有的简单（但幼稚）实现工作正常，但它非常慢，特别是考虑到要重复此实现对于每个时间步长（其中有很多）。 $A_j$ $j$

因此，我正在寻找上述方法的有效实现，它看起来非常像 2D 可分离卷积产品。这将允许人们利用 FFT 来非常有效地计算它，利用在频域中，卷积变成复数的乘法。

有人知道吗？