我需要一些帮助来验证使用有限体积方法求解器的一致性测试。

思路如下：

基于制造解决方案（MMS）的方法，我提供分析解决方案，$\mathbf{x}$，我让求解器组装矩阵，$\mathbf{A}$从离散化，我提供源项，$\mathbf{b}$ （来自 MMS 的强制项）。

在求解阶段，我正在计算：$\mathbf{r} = \mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b}$.

并计算以下误差规范：

$$L^{1}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left\vert \mathbf{r}\right\vert V_{i} }{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}V_{i}},$$

$$L^{2}=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left(\mathbf{r}\right)^{2}V_{i} }{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}V_{i}}},$$

$$L^{\infty}=\displaystyle\max_{i=1}^{N}\left\vert\ \mathbf{r}\right\vert,$$

其中是细胞数，是细胞体积。$N$$V_i$

通过逐步细化网格并使用二阶离散化方案，我希望残差会随着二阶精度而减小。$\mathbf{r}$

这是一个合适的方法吗？我的结果没有显示出正确的趋势，不同的规范具有不同的精度顺序（，和）。$L^{1} = 3$$L^{2}= 2.5$$L^{\infty} = 2$

我的彩信是：$T(x,y) = x^{2} + y^{2}$

PDE 是：$- \nabla \cdot (\Gamma \nabla T) = S_{T}$

和定义的矩形。网格尺寸均匀，结构清晰。所有边界条件都是狄利克雷$x \in [-0.1, 0.7]$$y \in [0.2, 0.8]$