计算科学 - 线法中多维平流的横向分量 - 吾爱随笔录

所以我从一些人那里继承了一个代码来解决特定系统的对流-扩散-反应方程。原始代码首先在 1D 中实现，在笛卡尔坐标中运行良好。但是，现在我试图在 2d 中实现它，我遇到了一些问题。

方程是：

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot (v u - D \nabla u) = f

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

其中是进化的原始变量，是扩散系数，是源+汇。 $u$ $D$ $f$

通过线的方法将空间离散化与时间离散化，将时间与 Runge-Kutta 4 阶方案集成，并使用笛卡尔坐标离散化，将模型从 1D -> 2D 扩展变得相对简单，因为空间分量是相加的. 然而，问题是我正在求解的方程的真正解往往有点球对称（但不完全），但网格是笛卡尔的，所以解决方案倾向于在笛卡尔网格中显示网格方向错误，即解决方案看起来有点“方形”，而不是看起来像“圆形”。解决此网格方向错误的 CPU 代价高昂的解决方案是使网格更精细，但这会导致计算变得非常缓慢。

我能够通过将拉普拉斯算子离散为 9 点模板而不是原始的 5 点模板来解决对流-扩散-反应方程的扩散部分的 2D 网格方向误差，获得后一个 5 点模板通过简单地添加 x 和 y 分量的一维拉普拉斯离散。9 点模板将空间“横向”组件添加到离散化中。然而，平流部分仍然存在一些非常糟糕的网格方向问题。

我想知道是否有类似于 2D 平流问题的“9 点模板”。也许是一个以某种方式考虑“横向”跨项空间分量的模板。我知道拐角运输逆风（CTU）具有横向分量：

\begin{aligned} Q_{i j}^{n + 1} & = Q_{i j}^{n} - \frac{u Δ t}{Δ x} [Q_{i j}^{n} - Q_{i - 1 j}^{n}] - \frac{v Δ t}{Δ y} [Q_{i j}^{n} - Q_{i j - 1}^{n}] \\ + u v \frac{2 Δ t^{2}}{Δ x Δ y} [(Q_{i j}^{n} - Q_{i j - 1}^{n}) + (Q_{i - 1 j}^{n} - Q_{i - 1 j - 1}^{n}) \\ + (Q_{i j}^{n} - Q_{i - 1 j}^{n}) + (Q_{i j - 1}^{n} - Q_{i - 1 j - 1}^{n})] \end{aligned}

$\begin{align} Q_{ij}^{n+1}&=Q_{ij}^n-\frac{u\Delta t}{\Delta x}\left[Q_{ij}^n-Q_{i-1j}^n\right] -\frac{v\Delta t}{\Delta y}\left[Q_{ij}^n-Q_{ij-1}^n\right] \\ &\qquad+uv\frac{2\Delta t^2}{\Delta x\Delta y}\left[\left(Q_{ij}^n-Q_{ij-1}^n\right)+\left(Q_{i-1j}^n-Q_{i-1j-1}^n\right)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+\left(Q_{ij}^n-Q_{i-1j}^n\right)+\left(Q_{ij-1}^n-Q_{i-1j-1}^n\right)\right] \end{align}$

但是我不确定它是否可以与 MOL 和 Runge-Kutta 4 阶一起使用，因为它明确取决于时间，例如，而用于 MOL 的单元离散化方案似乎只取决于空间分量，因此时间可以单独集成。但是我可能错了，CTU 可能是完全合适的。我真的很感激这里的一些指导，因为我是菜鸟！ $\Delta t$

线法中多维平流的横向分量

参考