计算科学 - 通过 FFT 计算空间相关平流算子的傅里叶表示 - 吾爱随笔录

在圆上考虑以下等式：

\frac{\partial p (x, t)}{\partial t} = a (x) \frac{\partial p (x, t)}{\partial x} \equiv L (p),

$\dfrac{\partial p(x,t)}{\partial t} = a(x)\dfrac{\partial p(x,t)}{\partial x} \equiv L(p) \enspace ,$

在哪里 $L$ 是操作员 $p(x,t)$ .

现在，我想创建这个运算符的矩阵 $L$ 在 Matlab 中使用 FFT/IFFT。请注意，由于我们的域是圆， $x\in[0,2\pi]$

进行傅里叶变换，我们得到 $\hat L(p)= \left[a(x)\dfrac{\partial p(x,t)}{\partial x}\right]^{\wedge}= \left[ a(x) (D_x \hat{p})^{V}\right]^{\wedge}$ ，在哪里 $\wedge$ 和 $V$ 是 FFT 和 IFFT 运算，并且 $D_x$ 是个 $x$ -傅立叶中的导数矩阵（通过乘以 $k$ 傅立叶系数由 $ik$ ）。

我的问题是：从表达式中，我能够使用 ODE 求解器（例如 ODE45）求解 PDE。但是，我有兴趣提取运算符 $L$ 用于其他目的。因此，我正在尝试提取矩阵 $\hat{L}$ 在以下等式中

\frac{\partial \hat{p} (x, t)}{\partial t} = \hat{L} \hat{p}

$\dfrac{\partial \hat{p}(x,t)}{\partial t}=\hat{L}\hat{p}$

有任何想法吗？