我对问题的迭代解决方案（最好是 Krylov 型求解器）感兴趣，其中 和。是对称的、可逆的，它的实部和虚部是不确定的。这来自解决谐波、阻尼有限元问题。$\boldsymbol{A}x=b$$x,b\in\mathbb{C}^{n\times1}$$\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$$\boldsymbol{A}$

现在，因为这个想法是手动明确地编写一些迭代，所以挑战是我想使用：

1. 简单的算法（即在每个步骤中不需要正交化，如在 GMRES 中），它与对角预处理器很好地收敛。
2. 其中的估计保证“单调减少”残差。我的意思是，例如，或保证每次迭代单调递减。有点像 Hermitian 矩阵的共轭梯度法。$x_n$$r_n = b - \boldsymbol{A}x_n$$||r_n||_2$$r_n^H\boldsymbol{A}r_n$

有没有这样的方法？

^{我尝试应用 Sogabe and and and Zhang, 2007 [1]}的共轭 A-正交共轭残差 (COCR) 方法，并使用简单的对角线预处理。我有一个粗网格的工作实现，但对于不太粗的网格，算法无法收敛。

然后，我阅读了 Gu 等人的准最小残差 COCR (QMRCOCR) 方法。al., 2014 ^[2]，这似乎更加稳定，实现起来仍然相对简单，并且误差似乎单调减少。但最后这句话是我对结果的解释，而不是任何严格的收敛性分析。并且文章中总是使用对称连续过度松弛 (SSOR) 预条件子，因此如果使用简单的对角线预条件子，则无法知道收敛是否会表现得一样好。

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想到的一个可能的解决方案是求解其中上标 H 表示厄米伴随。由于是可逆的，那么必然是厄米特（它也是正定的）因此，可以使用简单的共轭梯度法。

$$\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}x=\boldsymbol{A}^Hb$$ $\boldsymbol{A}$$\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}$

现在，我读到的任何地方都提到了稳定性问题。我找不到原因。我发现的唯一具体的事情是的条件数将等于 boldsymbol{A} 的条件数的平方。但是在我的 FE 代码中，我总是对A应用左右对角线预处理，从而获得相对较好的条件数。$\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}$$\boldsymbol{A}$

那么为什么用迭代求解器$\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}x=\boldsymbol{A}^Hb$

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经过一些实验，上述问题的答案是：就是这样。

这是曲线的一些图像的共轭梯度法 (CGM)、复线性系统的 COCR 方法和 QMRCOCR 方法来解决我的问题。我只使用了简单的 Jacobi 预处理。这是一个形状为的小的简单示例。$||r_n||/||b||$$\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}$$\boldsymbol{A}$$6930 \times 6930$

图 1：很明显，的 CGM在这种情况下是不好的。$\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}$

图 2：COCR 和 QMRCOCR 分别在 1132 和 1136 次迭代中收敛。显然 QMRCOCR 更稳定。

图 3：对我来说，问题是 COCR 或 QMRCOCR 的残差都不能保证在第一次迭代中减少。对于 CGM，它确实减少了。

那么有没有办法保证 COCR 或 QMRCOCR 的残差减少至少 2 个第一步？我认为这些方法的第一步总是类似于梯度下降。也许对于复杂的矩阵，事情会有所不同？

参考：

1. ; Sogabe，T。Zhang, S. 一种用于求解复杂对称线性系统的 COCR 方法。J.计算机。应用程序。数学。 2007, 199 (2), 297–303。DOI: 10.1016/j.cam.2005.07.032。
2. 顾，X。黄，T。李，L。李，H。; Sogabe，T。Clemens, M. 电磁模拟中复杂对称线性系统的 COCG 和 COCR 方法的准最小残差变体。IEEE Trans。微波理论技术 2014, 62 (12), 2859–2867。DOI：10.1109/TMTT.2014.2365472。