计算科学 - 为迹不等式约束获取 QSDP 的 KKT - 吾爱随笔录

我正在开发自己的求解器（用于硬件实现），基于 IPM 解决以下问题：

\begin{aligned} min_{X} \frac{1}{2} & ‖ X ‖_{F}^{2} + t r a c e (C X) \\ s.t. & t r a c e (A X) \leq b \\ X ⪰ 0 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \min_{X} \; \frac{1}{2}&\|X\|_F^2 + trace(CX)\\ \text{s.t. } & trace(AX)\leq b\\ & X\succeq 0\\ \end{split} \end{equation}$ 作为参考，我已经知道如何获得

\begin{aligned} min_{X} \frac{1}{2} & ‖ X ‖_{F}^{2} + t r a c e (C X) \\ s.t. & t r a c e (A X) = b \\ X ⪰ 0 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \min_{X} \; \frac{1}{2}&\|X\|_F^2 + trace(CX)\\ \text{s.t. } & trace(AX) = b\\ & X\succeq 0\\ \end{split} \end{equation}$ 这个问题的对偶将是

\begin{aligned} max_{X, y, S} & - \frac{1}{2} ‖ X ‖_{F}^{2} + b y + β \log det (S) \\ s.t. & A^{T} y - X + S = C, S ⪰ 0 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \max_{X,y,S}\;& -\frac{1}{2}\|X\|_F^2+by+\beta\log\det(S)\\ \text{s.t. }\;& A^Ty-X+S=C,\; S\succeq 0 \end{split} \end{equation}$ KKT 系统将是

\begin{array}{ccccccc} - X & + & A^{T} y & + & S & = C, & S ⪰ 0 \\ t r a c e (A X) & = b, & X ⪰ 0 \\ X S & = 0, \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccccccc} -X & + & A^Ty & + & S & = C, & S\succeq 0\\ trace(AX) & & & & & = b, & X\succeq 0\\ & & XS & & & = 0, &\\ \end{array} \end{equation}$ 后来我解决了Newton-Rhapson 方法，没有问题。我的问题，

t r a c e (A X) \leq b

$trace(AX) \leq b$ ?

感谢所有回复或参考。