我有以下设置：

• 一个不规则形状的域，表示为点的网格
• 拉普拉斯算子，连同边界条件

我正在寻找该算子的特征值，即满足边界条件和

$$\triangledown^2 f = \lambda f$$ 对于某些功能$f$和常数$\lambda$. 我不知道$\lambda$先验，实际上问题的一部分是找到可能的值！

到目前为止，我在特殊情况下得到了什么，其中边界条件是一个常数（例如 0s）：

• 拉普拉斯算子，当作用于离散的点网格时，就变成了线性运算——例如矩阵变换
• 所以我可以寻找它的特征值

我认为这很好用，但不能很好地概括。例如，现在我想用边界条件解决问题，例如在边界上

$$\frac{ \partial f }{ \partial n } = 0$$ 现在我不认为我可以将其表达为矩阵特征向量问题 - 或者我可以？

对于上下文，我正在解决不规则形状域上的鼓振动问题。给定一个域，上述问题的解决方案给出了鼓的振动形状，以及相关的频率（可以从特征值推导出来）。这里的边界条件是$f=0$在边界上，它很好地解决了 - 例如，我可以生成这样一张漂亮的图片（这里我的域是一个半圆）：

但是，现在我想将其扩展到圆柱体容器中的水波。边界条件变成了在上述边界处消失的偏导数 - 我觉得没有想法。所有帮助将不胜感激。