作为一名计算科学家，与研究 PDE 相比，研究动态系统（其中每个状态变量随时间演变的 odes 系统）是否存在局限性？
例如，心脏血流建模似乎是使用 PDE 完成的，但在一些针对准 2d 问题的流体-结构相互作用的研究论文中，建模是使用一组 ODE 完成的。我喜欢哪个；它易于学习，有意义，并且准确且与物理实验相匹配。
作为计算科学家，我能否专攻动态系统建模、理论和计算（数值方法）而不受严格限制？出于实际目的，是否有必要学习 PDE 和求解 PDE 的数值方法？
我特别欢迎在一个例子的背景下回答！
PDE 是动态系统的一种形式，其中存在另一个连续变量。通常这是空间，所以你在看事物随着时间和空间的变化，而不是仅仅随着时间的变化。
这是将 ODE 推广到 PDE 的示例。采用化学反应的 ODE 模型，该模型模拟某些化学物质随时间的浓度。现在推广模型，以便有一整桶这些化学物质，但混合不均匀。事情正在四处扩散，也许有一些平流（平均）流动。现在看看这些化学浓度如何在空间中的每个点随时间演变：这是 PDE 泛化（在这种情况下，它是 PDE u_t = N(u) + f(u) 其中 f 只是 ODE！ ）。
有多少只狐狸和兔子？-> 在给定位置有多少只狐狸和兔子？
你可以继续前进。结论，它仍然只是一个动态系统，尽管它在 ODE 之上还有另一个元素。有必要学习偏微分方程吗？取决于您是否需要使用它们。你有必要使用偏微分方程吗？这取决于你试图回答的科学问题。
如果您是学生，我会说有足够多的问题需要 PDE，因此学习 PDE 的一些方法可能非常有用。在数学上，它们比 ODE 更复杂一些，但有趣的是，处理 PDE 的最常见方法是……将它们转换为 ODE。有限差分法将PDE 转换为空间中给定点的 ODE 系统。Galerkin或有限元方法选择一个基并沿该基扩展无限维连续微分算子，以在有限维离散微分算子中出现……而离散微分算子只是（非线性）线性方程组或 ODE . 还有更高级的方法来进行扩展。经典Lorenz 方程实际上是 Navier-Stokes 的简化形式，提取了流体中有趣的湍流动力学。
所以总而言之，不要避免偏微分方程：它们是自然的，并且随着它们逐渐变得更加详细而出现在模型中。处理偏微分方程“只是”对常微分方程的概括。我说“只是”，因为在移动到无限维连续算子时需要解决一些深层的数学细节，但这就是 ODE 可能无法捕获非平凡行为的地方！