计算科学 - 两能级加法 Schwarz 中的全局问题是什么？ - 吾爱随笔录

两能级加法 Schwarz 中的全局问题是什么？

计算科学有限元域分解

2021-12-11 22:18:06

两级加性 Schwarz 方法（additive Schwarz with a rough space correction）通常写成这样：

v = \sum_{i = 0}^{N} R_{i}^{T} A_{i}^{- 1} R_{i} w

$\mathbf{v} = \sum_{i=0}^N \mathbf{R}_i^T \mathbf{A}^{-1}_i\mathbf{R}_i\mathbf{w}$

术语在哪里 $i=0$ 据说是粗空间校正。 $\mathbf{A}_0$ 是全局粗网格问题的求解器， $\mathbf{R}_0$ 和 $\mathbf{R}_0^T$ 分别是限制和插值算子。

我的问题是，如何构建 $\mathbf{A}_0$ ? 它对应于哪个问题？我得到了创建粗网格的想法，事实上，我已经在使用粗网格来初步猜测全局问题的解决方案应该是什么。但是两级加法施瓦茨方法在每次迭代中解决了一个粗略的问题，我不明白这应该是什么问题。我假设我们不是一遍又一遍地解决相同的粗网格问题，在迭代之间必须改变一些东西。

1个回答

连续有限元

通常，如果 $A$ 是您在最精细网格上的有限元离散化， $A_i = R_i * A * R_i^T$ . 因此对于 $i=0$ , $A_0$ 对应于最粗网格上问题的有限元离散化。

如果 $R_0$ 和 $R_0^T$ 是代数定义的，可以用“Galerkin”三元积来形成 $A_0=R_0 * A * R_0^T$ . 这就是在代数多重网格中所做的。如果 $R_0$ 和 $R_0^T$ 有几何意义， $A_0$ 可以通过在最粗的网格上简单地组装您的有限元问题来构建。

在两级加性 Schwarz 迭代中，通常是矩阵 $A$ 和 $A_0$ 保持固定。如果你想解决 $Ax=b$ ，和 $x_j$ 是您之前对问题的猜测，那么 $j+1$ 两级加法 Schwarz 方法的迭代看起来像

x_{j + 1} = x_{j} + \sum_{i = 0}^{N} R_{i}^{T} A_{i}^{- 1} R_{i} (b - A x_{j}) .

$x_{j+1} = x_j + \sum_{i=0}^N R_i^T A_i^{-1}R_i (b-Ax_j).$

换句话说，矩阵 $A_0$ 和 $A_i$ 不依赖 $j$ . 这本免费书籍的第 4 章解释了为什么粗略空间很有用。

非线性问题

对于通过外部 Newton 或 Picard 迭代解决的非线性问题，矩阵 $A$ 和 $A_0$ 依赖于外部迭代。

光谱元素

在光谱元素的情况下，许多作者选择 $A_0$ 因此它对应于具有较小多项式阶数的最粗网格上的有限元问题（例如，查看Fischer 等人和Pasquetti 等人）。

不连续 Galkerin 方法

已经表明，不连续 Galkerkin 方法的粗空间选择可能更敏感一些。更多细节可以在以下参考文献Olson 等人、Dobrev 等人、Antonietti和Collins中看到。

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