计算科学 - 经典的线性弹性平衡方程组是如何推导出来的？ - 吾爱随笔录

经典的线性弹性平衡方程组是如何推导出来的？

计算科学固体力学

2021-12-09 01:06:45

在线性弹性中，控制 PDE 是平衡方程（不考虑振动）：

- \nabla \cdot σ = F

$-\nabla \cdot \sigma = F$

这个方程是简单地从力和力矩的总和推导出来的吗？

在大多数线性弹性论文中，我看到了这些控制方程。这些方程的来源是否有原始来源？我正在寻找更基本的引文，但它似乎被广泛使用并广为人知，以至于我很难找到原始来源。

3个回答

你拿任意卷 $V$ 并在其上使用平移和旋转平衡方程。他们读

\begin{aligned} \int_{A} t d A + \int_{V} f d V = 0, \\ \int_{A} r \times t d A + \int_{V} r \times f d V = 0, \end{aligned}

$\begin{align*} \int\limits_A \mathbf{t}\mathrm{d}A + \int\limits_V \mathbf{f} \mathrm{d}V = 0\, ,\\ \int\limits_A \mathbf{r}\times\mathbf{t}\mathrm{d}A + \int\limits_V \mathbf{r}\times\mathbf{f}\mathrm{d}V = 0\, , \end{align*}$ 在哪里

t

$\mathbf{t}$ 是牵引向量，

f

$\mathbf{f}$ 身体力，和

r

$\mathbf{r}$ 是位置向量。然后，由于体积的任意性，积分应该等于 0，并且你得到你提出的方程和应力张量的对称性（在经典弹性中）。

根据@BiswajitBanerjee 的评论，第一个讨论该主题的出版物是：

纳维尔，CLMH (1821)。Sur les lois des mouvement des fluides, en ayant egard a l'adhesion des 分子。安。奇米，19，244-260。
柯西，ALB (1822)。Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides ou fluides, élastiques ou non élastiques。

你可以找到最近的讨论

Mase, George Thomas, Ronald M. Smelser, 和 George E. Mase。2010. 工程师的连续体力学。第三版。博卡拉顿：CRC 出版社。（第 5 章）。
雷迪，JN（2013 年）。连续介质力学导论。剑桥大学出版社。（第 5 章）。

这个问题的不同观点是：牛顿定律说质量乘以加速度等于所有力的总和。您对稳态情况感兴趣，因此加速度为零，因此所有力的总和为零。如果您希望身体不移动，则必须在实体的每个点上保持这一点。

所有力的总和等于外力 $F$ （实际上是力密度，因为我们正在查看单个点）作用于身体的每个点加上内力 $\nabla \cdot \sigma$ 由于压力。

换句话说，您引用的方程式只是一个力平衡。

您可以在 AF Bower 的书中找到讨论。

固体应用力学第 1 版 ISBN-13：978-1439802472，ISBN-10：1439802475

这本书可在 AF Bower 的网站上在线获取

http://solidmechanics.org/Text/Chapter2_3/Chapter2_3.php#Section2_3_1

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