计算科学 - Crank Nicolson 不同离散规范背后的直觉 - 吾爱随笔录

我正在用 Crank-Nicolson 有限差分法是项的常用离散化矩阵。我想谈谈整个网格上的整个误差向量。我可以将该方法的离散迭代写为因为是正常的，所以我有并且我可以看到已知特征值我可以找到的特征值，因此我有和其中中整个网格的矢量误差 $u_t=Au$ $A$ $u_{xx}$

u^{n + 1} = B u^{n} = \frac{I + τ / 2 A}{I - τ / 2 A} u^{n}

$u^{n+1}=Bu^n=\frac{I+\tau/2A}{I-\tau/2A}u^n$

B

$B$

ρ (B) = | | B | |_{2}

$\rho(B)=||B||_2$

A

$A$

B

$B$

| | B | |_{2} \leq 1

$||B||_2\leq 1$

| | e | |_{2} = O (h^{2})

$||e||_2=O(h^2)$

e

$e$

L^{2}

$L^2$ 规范。

因此，我的第一个问题是我是否也可以为 Crank-Nicolson为此，我需要估计而我不知道该怎么做。 $||e||_{\infty}=O(h^2)$ $||B||_{\infty}=\max_{i,j}b_{i,j}$

第二个问题，如果第一个问题是一个真实的陈述，我对两个离散范数的误差进行了估计： $L^2$ 和 $L^{\infty}$ 。离散误差的直觉是什么 $L^2$ ，在我看来，“平均”误差减少了 2，所以如果我选择网格上的点，我不必有二次收敛？我可以暗示任何关于它将如何在网格上的特定点收敛吗？关于 $L^{\infty}$ 范数的相同问题。我应该使用哪一个来衡量错误，一个会暗示另一个吗？