计算科学 - 在 python 中将 Neumann 边界应用于 Crank-Nicolson 解决方案 - 吾爱随笔录

考虑热方程

u_{t} = κ u_{x x}

$u_t = \kappa u_{xx}$ 边界条件为

u (x, 0) = 0 u (0, t) = 100 u (l, t) = 0

$u(x,0)=0\\ u(0,t)=100\\ u(l,t)=0$ pyton的数值分析可以用

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.sparse import diags

def Crank_Nicolson(dy,ny,dt,nt,k,T,ntout):
    Tout = []
    T0 = T[0]
    T1 = T[-1]
    s = k*dt/dy**2
    A = diags([-0.5*s, 1+s, -0.5*s], [-1, 0, 1], shape=(ny-2, ny-2)).toarray() 
    B1 = diags([0.5*s, 1-s, 0.5*s],[-1, 0, 1], shape=(ny-2, ny-2)).toarray()
    for n in range(1,nt):
        Tn = T
        B = np.dot(Tn[1:-1],B1) 
        B[0] = B[0]+0.5*s*(T0+T0)
        B[-1] = B[-1]+0.5*s*(T1+T1)
        T[1:-1] = np.linalg.solve(A,B)
        if n % int(nt/float(ntout)) == 0 or n==nt-1:
            Tout.append(T.copy())
    return Tout,s

dt = 0.01
dy = 0.001
k = 10**(-4)
y_max = .1
y = np.arange(0,y_max+dy,dy) 
ny = len(y)
nt = 1000

T = np.zeros((ny,))
T[0] = 100
Tout,s = Crank_Nicolson(dy,ny,dt,nt,k,T,10)

for T in Tout:
    plt.plot(y,T)    
plt.show()

纽曼边界如何

u_{x} (l, t) = 0

$u_x(l,t)=0$ 可以在这段代码中实现吗？

这是将棒材的一端保持在 100 °C 温度而另一端绝缘的情况。