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辐射边界条件（传热）

计算科学有限元边界条件非线性方程参考请求

2021-12-18 03:01:09

我正在寻找有关如何实现非线性边界条件的参考。具体来说，我有兴趣使用 FEM 实现热传递的辐射边界条件：

$-k \frac {\partial T} {\partial n} =F (T^{4} - T_{\infty}^{4})$

和 $T$ 温度， $F$ 是一些因素， $k$ 热导率。

一个理想的参考有理论和一个简单的（1D/2D）例子，可能还有一些代码来尝试/验证。我看过《传热的有限元分析》（Hou-Cheng Huang），但对于价格，评论并不受欢迎。也许有些人知道我可以查看的一些讲座节点、交易 ii 或 fenics 实现？

1个回答

一旦您意识到非线性边界条件仅在弱公式中产生非线性项，这并不是特别困难。假设您要解决稳态问题，即

- k Δ T = f in Ω - k \frac{\partial T}{\partial n} = F (T^{4} - T_{\infty}^{4}) on \partial Ω .

$-k \Delta T = f \qquad \text{in} \ \Omega\\ -k \frac{\partial T}{\partial n} = F(T^4 - T_\infty^4) \qquad \text{on} \ \partial\Omega.$ 您可以通过将方程乘以测试函数并按部分积分将其转换为弱形式，从而产生

(\nabla φ, k \nabla T)_{Ω} - (φ, k \partial_{n} T)_{\partial Ω} = (φ, f)_{Ω}

$(\nabla \varphi,k\nabla T)_\Omega -(\varphi,k\partial_n T)_{\partial\Omega} = (\varphi,f)_\Omega$ 现在意识到您可以将左侧第二项中的边界条件替换为

(\nabla φ, k \nabla T)_{Ω} + (φ, F T^{4})_{\partial Ω} = (φ, f)_{Ω} + (φ, F T_{\infty}^{4})_{\partial Ω}

$(\nabla \varphi,k\nabla T)_\Omega +(\varphi,F T^4)_{\partial\Omega} = (\varphi,f)_\Omega + (\varphi,F T_\infty^4)_{\partial\Omega}$ 然后，您只需为这个问题实现一个非线性求解器 - 但这与所有其他非线性问题的工作方式相同，您可以找到很多参考资料。（其中包括我关于非线性问题的视频讲座。）

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