我多次听到“FD 是 FE 的特例”和“FV 是 FE 的特例”的说法。
但是，我从未遇到过通过推导、示例、证明等方式证实该主张的简短文件。
我了解 FE 的基础知识和 3 种表现形式：搭配、最小二乘、Galerkin。
我也明白，这三个可以被认为是各种“加权残差”方案，统一的原理是MWR（加权残差方法），它是一种变分方法。
是否有两种易于阅读的资源，一种用于 FD，一种用于 FV，可以连接到 FE 或 MWR 或类似的东西？
作为有限元特例的有限差分和有限体积
计算科学
有限元
有限差分
有限体积
2021-12-11 03:02:01
2个回答
一个很好的例子是，如果你对均匀网格上的拉普拉斯方程使用双线性有限元，然后使用梯形法则近似积分，那么你会得到通常的 3 点模板（在 1d 中）或 5 点模板（在 2d 中) 从有限差分法中众所周知。唯一的区别是线性系统的左侧和右侧都乘以网格大小的平方，但除此之外，线性系统与您从有限差分方法中得到的系统完全相同.
对于 FV，我不能说太多，从来没有使用过这种技术。但是许多 FD 方法可以重写为 FE 方法，该方法明智地选择基组和正交规则，从而简化隐式“LHS”矩阵（通常为对角线形式）。其中一些技术以“质量集总”的名义存在了很长时间。
我在论文中写了一些关于这种关系的文章，下面有一个链接（特别是从第 11 页开始的第 2.4 节）。这一切都是在使用 FDTD 求解 Maxwell 系统方面进行的。在 1D 中，这简化为标量亥姆霍兹。您可以对 Laplace 遵循相同的过程。对于其他 PDE，您可能需要询问专家合适的基组是什么。
标题：通过有限元 (FE) 原理开发的有限差分时域 (FDTD) 方法的 H-、P- 和 T-细化策略
链接： https ://etd.ohiolink.edu/pg_10? 0::NO:10:P10_ACCESSION_NUM:osu1219064270
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