为简单起见，我们只说。然后你想估计 从上面和下面。此外，让我考虑两种情况：$a=0,b=1$

$$\int_0^1 f(x) g(x) dx - \left(\int_0^1 f(x) dx \right) \left(\int_0^1 g(x) dx\right)$$

• 如果的平均值为零，即，那么您先验地知道您的近似值不是一个好的近似值。那我们就不要再考虑这种情况了。$g(x)$$\int_0^1 g(x) dx = 0$

• 如果的平均值不为零。我们只考虑这种情况。$g(x)$

由于在第二种情况下它对问题没有影响，为了简单起见，让我们假设已经以的方式缩放。 然后，您正在从上方和下方寻找术语 的平均值为 1。$g(x)$$\int_0^1 g(x) dx = 1$

$$\int_0^1 f(x) g(x) dx - \int_0^1 f(x) dx$$ $g(x)$

现在考虑一系列函数。然后，假设是有界的， 所以你的相对误差可以变得任意大，并且通过调整的符号，您可以使其成为可能是正数或负数的错误。$f_n(x)=(n+1)x^n$$g(x)$

$$\int_0^1 f_n(x) g(x) dx \rightarrow 0, \qquad \int_0^1 f_n(x) dx =1$$ $f_n,g$

当然，所有这些都表明您需要说明您在哪个类（或函数空间）中寻找您的函数。上面的每个函数都是，它的限制在中，所以你不能指望在中一定会出现错误。但是限制函数不在中，因此您可能可以找到例如中的估计值。换句话说，需要更多信息来回答您的问题。$f(x)$$f_n$$C^\infty$$L_1$$L_1$$L_p,p>1$$L_\infty$