计算科学 - 卡在一个可怕的微分方程上 - 吾爱随笔录

卡在一个可怕的微分方程上

计算科学 pde matlab

2021-12-12 06:45:23

我被困在这个 PDE 上：

ρ \cdot C \cdot \frac{\partial T}{\partial τ} + u \cdot ρ \cdot C \cdot \frac{\partial T}{\partial r} = \frac{λ}{r^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \cdot \frac{\partial T}{\partial r}) + K - \frac{ρ \cdot C \cdot T}{V} \cdot \frac{\partial V}{\partial τ}

$\rho \cdot C \cdot \dfrac{\partial T}{\partial \tau} + u \cdot \rho \cdot C \cdot \dfrac{\partial T}{\partial r} = \dfrac{\lambda}{r^{2}} \cdot \dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \cdot \dfrac{\partial T}{\partial r}\right) + K - \dfrac{\rho \cdot C \cdot T}{V} \cdot \dfrac{\partial V}{\partial \tau}$ 这应该描述快速热解过程中的焓变化。我知道所有参数（

ρ, C, λ, K

$\rho, C, \lambda, K$ ) 我可以得到

u

$u$ 和

V

$V$ 从解析表达式。

假设我知道初始条件和两个边界条件，我想使用 matlab 对其进行数值求解。

有人可以帮帮我吗？提前致谢。

IC和BC：

T_{τ = 0} = T_{0} 0 \leq r \leq R

$T_{\tau = 0} = T_{0} \hspace{2cm} 0 \leq r \leq R$

\frac{\partial T}{\partial r} |_{r = 0} = 0

$\dfrac{\partial T}{\partial r}\bigg|_{r=0} = 0$

\frac{\partial T}{\partial r} |_{r = R} = C 1 \cdot (T_{m} - T_{R})

$\dfrac{\partial T}{\partial r}\bigg|_{r=R} = C1 \cdot (T_{m} - T_{R})$

是的， $\tau$ 是一个时间变量并且 $r$ 是空间坐标。我期待一个简介 $T$ 关于这两个变量。

如果我不能提供这么多有用的信息，我很抱歉，但是我得到了一篇科学论文来研究这些方程（有很多方程，但这个是最棘手的）的显示位置，但没有提到他们如何解决并得到结果。

3个回答

我还建议使用有限差分代码（如 Paul 和 AshikIdrisy 所建议的），而不是在两者中都离散化 $r$ 和 $\tau$ , 我只会离散化 $r$ . 半离散微分方程 $r$ 将产生一个 ODE 系统 $\tau$ ，然后可以使用 MATLAB 的内置 ODE 求解器之一在 MATLAB 中求解。

就 PDE 求解器而言，您可以尝试使用 MATLAB 的pdepe求解器，因为您的方程看起来是抛物线的。

它只是一个空间维度上的对流扩散方程。我不知道如何在 matlab 中做到这一点，但是大多数开源有限元库（deal.II、fenics、libmesh、...）中都有教程程序来演示如何解决这些问题。用有限元代码求解这个方程不会特别困难，只要（i）扩散支配平流，或者（ii）你适当地稳定方程，或者（iii）你可以提供足够细的网格，您可能可以这样做，因为您的模型只有 1d。

（免责声明：我是 deal.II 的作者之一。）

鉴于他们给出边界条件的方式，我建议使用上面 Paul 所暗示的有限差分代码。看来你可以设置一个网格 $\tau$ 和 $r$ 并为 $\tau$ 和可能的中心差异方案 $r$ . 如果你知道有限差分，如果你最终想使用这种方法，我可以更详细地介绍。就像第一步一样，尽管您可能希望获得关于的所有导数 $r$ 一方面和那些 $\tau$ 在另一。

我知道 Matlab 已经内置了 ODE 求解器，但我不确定 PDE 求解器。我认为通过在 .m 文件中编写一些代码，自己进行第一次尝试，你会学到最多。

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