我正在尝试用有限差分法研究具有空间相关流动的二维平流方程。取一个函数$f(x,y,t)$方程的解：

$$\partial_t\,f+\nabla(\textbf{v}\,f)=0$$

在哪里$\textbf{v}$已知无散度：

$$\textbf{v}=a \begin{bmatrix} \,y \\ x \end{bmatrix}$$ 在哪里$a$是一个给定的常数。最后，要研究的方程采用以下形式：

$$\partial_t\,f+a\left[y\,\partial_x\,f+x\,\partial_y\,f\right]=0$$

作为第一次尝试，我尝试通过离散化实现一个非常幼稚的中心显式方案$x=q\,\Delta_x$,$y=p\,\Delta_y$,$t=n\,\Delta t$和$\; f(x,y,t)=f^n_{qp}\;$在哪里$\;(q,p)\in\left[2,K-1\right]^2\;$和$\;n\in\left[1,N\right]$：

$$f^{n+1}_{qp}=f^n_{qp}+\frac{a \Delta t}{2}\left[p\,(f^n_{q+1\,p}-f^n_{q-1\,p})+q\,(f^n_{q\,p+1}-f^n_{q\,p-1})\right]$$

我们去的地方$\Delta_x=\Delta_y=h$为简单起见。

我将边界条件固定为零通量条件，我不知道这是否正确，因为我正在研究的问题不应该有边界。

我试图对这个方案进行冯诺依曼稳定性分析，但它似乎在任何情况下都是不稳定的。但事实上该方案不依赖于$h$困惑我，我认为它无处可去......

问题 ：

计算科学对我来说很新，我想知道我的思考是否正确：

• 我应该尝试隐式方法还是 Crank-Nicolson 方法？在稳定性方面应该更好吗？
• 关于边界条件，既然我的系统不应该有任何边界，我应该尝试实现吸收边界条件吗？
• 是否有任何通用方法来数值研究这种方程，例如在更高维度或附加项（如扩散项）？
• 有什么文献可以帮助我完成这项研究吗？