初步观察

• 如果你有一个大小为，你必须至少有正交点。您可以通过将内积写成来看到这一点，其中是对角权重矩阵，是基础评估矩阵。如果正交点的行数少于，因此。$\{\phi_i(x)\}$$n$$n$$(u,v) = u^T B^T W B v$$W$$B_{ij} = \phi_j(x_i)$$n$$B$$n$$\DeclareMathOperator{\rank}{rank} \rank(B^T W B) < n$

• 您的权重函数无法使用高斯积分精确积分，具体取决于顺序和所需的精度，可能会有不可接受的误差。您可以找到有关各种特定函数形式的特殊求积的论文。请注意，右侧积分也存在正交误差。幸运的是，这些函数是平滑的，并且权重有效地要求端点附近有更多的点，所以高斯正交并不是那么糟糕。有关通用正交的更多信息，请参见Trefethen (2008) Is Gauss Quadrature Better Than Clenshaw-Curtis。

• 表示是编写代码的更方便的方式。$A = B^T W B$

• 方便时使用矩阵和向量表示法被认为是良好的 Matlab 风格。它大大压缩和简化了代码。

重构和工作代码

n = 5;
qpoints = 10;

% Quadrature points on [-1,1]; see Golub & Welsch (1969) and Trefethen (2008)
beta = .5 ./sqrt(1-(2*(1:qpoints-1)).^(-2)); % 3-term recurrence coefficients
T = diag(beta,1) + diag(beta,-1);            % Jacobi matrix
[V,D] = eig(T);                              % eigenvalue decomposition
[x,i] = sort(diag(D));                       % Gauss-Legendre points
w = 2*V'(i,1).^2;                            % weights
% Map quadrature to interval [0,1]
x = 0.5 + 0.5*x; w = 0.5*w;

% assemble Gram matrix
B = fliplr(vander(x,n));         % basis evaluation matrix
W = diag(w ./ sqrt(x.*(1-x)));   % diagonal quadrature weight matrix
A = B'*W*B;                      % Gram matrix
b = B'*W*exp(x);                 % exponential integrated against test functions

taylor = 1./factorial(0:n-1)';
ceoffs = [A \ b, taylor]

进一步的观察

• 众所周知，单项式基础是病态的。如果您想使用更高次多项式，您应该选择条件良好的基础，例如 (a) Legendre/Chebyshev 多项式，(b) 像 Gauss-Lobatto 这样的良好点集上的拉格朗日插值，或 (c) 牛顿形式（除差）与良好点集相关的多项式。其中，(b) 是 PDE 计算中最流行的。
• 计算的系数与指数中的前导项不匹配，因为它们在区间最优，而不是仅在的限制中。相反，泰勒多项式仅适用于极限，并且在任何范数的有限区间上都没有界限。$L^2$$[0,1]$$x \to 0$$x\to 0$
• 您可以针对诸如之类的非光滑范数生成最优多项式。中的近似，有时称为“切比雪夫近似”，可为您提供整个区间内的最佳逐点误差界限。这篇博文有一些不错的数字、算法介绍以及文献的进一步链接。$L^\infty(\Omega)$$L^\infty$

众所周知，幂的 gram 矩阵是非常病态的。如果您根据切比雪夫多项式对 [-1,1] 中的积分进行扩展，然后将积分转换到该范围，则效果会更好。