我对数值 PDE 知之甚少，所以如果这个方程格式不正确，我深表歉意（我感谢任何更正）。
我目前正在学习布朗运动。一个经典的结果是我们可以使用布朗运动撞击时间来求解热方程。更具体地说，如果我们在中考虑一个具有平滑边界的漂亮域，并从域中释放布朗运动，那么可以通过平均布朗运动击中的点（根据击中概率加权）。对于更复杂的 PDE（例如生存时间和 Feymann-Kac 的东西），这个想法的更复杂的版本是可能的。
我想自己编写一个 PDE 求解器来模拟这个问题。那就是，我想通过求解相应的 PDE 来确定布朗运动的撞击时间。（这比使用 BM 运行蒙特卡洛模拟更准确，因为没有蒙特卡洛错误。）我对维度最感兴趣，尽管我希望能够走得更高。
我想用非常弯曲的形状来做到这一点：椭圆体、球体、U、填充笑脸等。
我的理解是，最后一种方法排除了有限差分方法，或者至少使它们很难编程（由于需要一些我不太了解的外推技术）。我翻过的书似乎都集中在矩形域上。
我被推荐使用 FD 方法作为开始 PDE 求解的最简单方法。下一个最简单的方法是什么（它给出了相对较好的结果并且最容易编程）可以让我在弯曲域上解决这些问题？
使用有限差分法当然可以解决弯曲边界的问题，但这很尴尬。
使用有限元方法更简单。在那里，您需要将域细分为一个网格，通常由 2d 中的三角形和 3d 中的四面体组成。这些不需要符合弯曲边界，您只需要三角形/四面体的顶点位于弯曲边界上 - 常用的网格生成器都这样做。然后，即使您的网格由直边三角形/四面体组成，您也可以保证有限元解收敛到 PDE 的精确解。
当然可以通过使用具有弯曲边缘和面的三角形和四面体来改进事物（并获得更好的准确性）。但这不是微不足道的。您不想自己这样做，尽管您可以使用广泛使用的有限元库之一，看看它们是否支持这种弯曲单元。（一个选择是 deal.II，它支持弯曲的单元格——既使用多项式近似，也使用您域的精确几何；我是该库的主要开发人员之一，因此请考虑我的建议中的利益冲突。）
对于您所描述的复杂领域，我认为有限元法基本上是唯一的方法。当空间域很简单但您的域很复杂时，光谱离散化很好。有限体积法适用于双曲线守恒定律，但可以说不太适合椭圆或抛物线型问题。我不会在这里尝试总结有限元或其他 Galerkin 类型的方法。相反，我只会向您推荐我最喜欢的有关该主题的书籍，一本是Braess的，另一本是Gockenbach的。
编写代码的简单程度可能会有很大差异，具体取决于您自己想做多少。我已经完全从头开始为分段线性有限元编写了网格数据结构、稀疏矩阵数据结构和组装内核。这是合理的做法，我发现它很有教育意义，但会很耗时。另一方面是使用高级软件包，如 FEniCS、Firedrake*、scikit-fem、sfepy 等。要使用这些软件包，您需要了解 PDE 的弱形式并能够使用网格发电机。它们将使您无需详细了解如何将 PDE 的弱形式转换为矩阵向量方程。使用这些包可以使开发速度非常快，但会让您感觉它是一个不透明的大盒子，您不了解里面发生了什么。deal.II 包位于中间的某个位置。您部分负责有限元矩阵组装，但该软件包提供了许多常见的元素族，已经定义了良好的网格和矩阵数据结构，将为您处理正交等。
您选择选择哪一个是您必须做出的决定。您想在这方面投入多少工作，您认为了解较低级别的细节在多大程度上很重要？
无论如何，您都需要一个网格生成器。两个最受欢迎的选择是gmsh和Triangle。
*我为 Firedrake 做出贡献并获得资助以开发基于它的下游应用程序。