计算科学 - rank=1 约束下的优化 - 吾爱随笔录

我有以下矩阵

A = [x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}],

$A = [x_1, x_2, ..., x_n],$

其中。但我知道这种关系 $x_i \in \mathbb R^n$

\begin{aligned} x_{2} = s_{2} x_{1} \\ x_{3} = s_{3} x_{3} \\ . . . \end{aligned}

$\begin{align} x_2 = s_2 x_1 \\ x_3 = s_3 x_3 \\ ... \end{align}$

其中是标量。所以矩阵的秩应该是 1。 $s_i$ $A$

在这种情况下，似乎我可以分解并截断除最大奇异值之外的其他奇异值并返回。所以它类似于 PCA。我不确定这是正确的方法。你能给点意见吗？ $A=SVD$

编辑：

我有一个像这样的目标函数：

\begin{aligned} min_{x} & f (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) \\ s.t. & rank ([x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}]) = 1 \end{aligned}

$\begin{align} \min_x & f(x_1, x_2, ..., x_n) \\ \text{s.t. } & \operatorname{rank}([x_1, x_2, ..., x_n])=1 \end{align}$

其中 $f$ 是可微的，我可以很容易地使用梯度下降。我认为一种简单的方法是将梯度下降应用于 $f$ 并将解决方案投影到 rank=1 矩阵上。（可以称为投影梯度下降或近端梯度下降）。