计算科学 - 为什么α我+一个αI+A可以改善 SPD 矩阵的条件数一种A? - 吾爱随笔录

为什么α我+一个αI+A可以改善 SPD 矩阵的条件数一种A?

计算科学有限差分条件数

2021-12-26 17:45:25

对于具有二维狄利克雷边界条件的泊松方程：

- Δ u = f,

$-\Delta u=f,$ 使用FDM（中心差分）或 FEM离散化，我们可以获得如下线性方程组的SPD系统：

A x = b .

$Ax=b.$ 如果步长是

h

$h$ ，则矩阵的谱条件数

A

$A$ 是

O (h^{- 2})

$O(h^{-2})$ .

一个结论是“给定一个正常数 $\alpha>0$ ，然后矩阵 $\alpha I+A$ 条件良好”。为什么要添加一个正项 $\alpha$ 到矩阵的主对角线 $A$ 可以提高矩阵的条件数 $A$ ?

因为在我看来，新的矩阵条件数是

{c o n d}_{2} (α I + A) = \frac{α + λ_{max} (A)}{α + λ_{min} (A)} > \frac{λ_{max} (A)}{λ_{min} (A)} = {c o n d}_{2} (A) .

$\mathrm{cond}_2(\alpha I+A) = \frac{\alpha+\lambda_{\max}(A)}{\alpha+\lambda_{\min}(A)}>\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)}=\mathrm{cond}_2(A).$

但数值结果对比如下：

clc;clear;
n=10;
A=gallery('poisson',n);
cond(full(A))

n=10;
A=gallery('poisson',n);
cond(full(A)+speye(n^2))

n=20;
A=gallery('poisson',n);
cond(full(A)+speye(n^2))

数值结果如下：


ans =

   48.3742


ans =

    7.6056


ans =

    8.5723

的条件数小于 (48.3742 > 7.6056)。 $I+A$ $A$

此外，当系统规模增加时，条件数几乎没有增加（从 7.6056 到 8.5723），这似乎矩阵无关。为什么会发生这种情况？它真的独立于步长吗？ $\alpha I+A$ $h$ $h$

1个回答

不等式不成立，因为和。事实上，在这种情况下，反向不等式成立。因此，这里没有矛盾。 $\frac{\alpha + \lambda_{max}(A)}{\alpha+\lambda_{min}(A)} > \frac{\lambda_{max}(A)}{\lambda_{min}(A)}$ $\lambda_{max}(A) > 1 > \lambda_{min}(A) > 0$ $\alpha > 0$

编辑：从评论中，我意识到这个问题还没有完全回答。

另外， . $\kappa(A+\alpha I) = \frac{\alpha + \lambda_{max}(A)}{\alpha+\lambda_{min}(A)} = \frac{\frac{\alpha}{\lambda_{max}(A)}+1}{\frac{\alpha}{\lambda_{max}(A)}+\frac{\lambda_{min}(A)}{\lambda_{max}(A)}} = \frac{\frac{\alpha}{\lambda_{max}(A)}+1}{\frac{\alpha}{\lambda_{max}(A)}+O(h^2)}$

因此，对于足够小的和足够大的，我们有。可以看到变化很小。例如， $h$ $\alpha$ $\kappa(A) \approx 1+\frac{\lambda_{max}(A)}{\alpha}$ $\lambda_{max}(A)$

poisson = @(n) full(gallery('poisson',n,n));
max(abs(eig(poisson(10))))

答案=

7.837971894457977

max(abs(eig(poisson(40))))

答案=

7.988263204734964

max(abs(eig(poisson(60))))

答案=

7.994696359539318

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