关于混合有限元方法动机的问题

计算科学 有限元
2021-12-05 17:55:51

我试图理解什么是混合有限元方法,我被推荐了这个pdf:http ://www.ima.umn.edu/~arnold/papers/mixed.pdf (Arnold,椭圆问题的混合有限元方法)。

在第一页,作者将动机描述为“将应力和位移场作为主要变量”。然而,方程式是:

AS=E(u)div[S]=f

作者说是一个 SPD 算子,所以第一个方程可以重写为:A

S=CE(u)

但是,我们可以将其代入前两个等式的第二个并得到:

div[CE(u)]=f

所以被消除了,我们不需要考虑两个主要变量(我们需要做的就是解决Su)

那么使用混合方法的更好动机是什么,或者上述推理有什么问题?

2个回答

混合公式在概念上更加困难,必须适当地选择近似空间以使离散系统稳定。

从混合公式中出现的矩阵非常稀疏,但与等效的单场公式相比,其尺寸更大。但是,通常混合和经典格式具有相当数量的非零条目。混合配方产生的基质性能不如经典配方。很多时候,需要针对问题量身定制的解决方案。

对于弹性问题,锁定是混合公式的一个论据,但是,可以使用多种方法/补救措施以低成本消除锁定,例如,塑性中有效且直接的 B-bar 方法,

所以总的来说,你必须有很好的论据,为什么你喜欢应用混合元素。

对我来说,混合配方有四个吸引人的地方;

1)您在混合元素的公式中构建了错误评估器。要实现经典元素,你需要半个小时,但要实现好的误差估计器,你需要一个月。

2) 应力或一般通量具有更高阶的收敛性。这些通常是工程师感兴趣的主要变量,用于评估结构的强度。

3) 对于非线性问题,可以解耦方程的非线性(例如本构/物理方程)和线性(例如动量守恒)部分。这使您能够构建高效、稳定的非线性求解器,例如 LaTIn 方法。

4) 您可以捕捉不规则的解决方案、突然的变化、更容易的冲击,例如在声学或材料特性急剧变化时的不饱和流动中。

混合方法的主要动机是您希望位移和应力都是主要变量。

如果将一个方程代入另一个方程,则只有位移作为主要变量。然后,您可以稍后根据位移计算应力,但是此后处理步骤通常会导致计算应力的精度低于计算位移的精度。

另一方面,如果将这两个变量都保留为主要变量,则可以独立选择两者的近似阶数(在限制范围内),并且可以保证计算出的应力至少与计算出的位移一样准确,并且一般来说,这种方式的应力会比从位移中计算它作为后处理步骤更准确。

(如果你现在问为什么有人需要计算出的应力是准确的:想想你需要知道材料是否会破裂的情况——即应力是否超过某个限制——或者应力决定了材料的行为的情况。材料——例如,可塑性。)