一般来说，对于有限元近似$u_h$确切（但未知）的解决方案$u$对于偏微分方程，如果我们可以计算类似的东西当然会很好$\|u-u_h\|_K$对于每个单元格$K$有限元网格——换句话说，衡量近似解的错误程度。

但我们不能这样做，因为我们不知道确切的解决方案$u$. 因此，多年来，人们提出了对误差的估计，即，对于每个细胞，我们都有一个数量$\eta_K$以便$\|u-u_h\|_K \le \eta_K$. 这样的数量$\eta_K$——称为误差估计器——可以推导出许多方程，包括拉普拉斯方程、弹性、斯托克斯等。

但为了做到这一点，通常需要方程中的某种结构，但并非所有方程都具有这种结构。因此，例如对于 Navier-Stokes 方程或其他具有非线性的方程，通常很难推导出这些估计量$\eta_K$事实上，对于大多数方程，我们可能知道这样的$\eta_K$看起来像，但我们无法证明它是实际错误的上限。这可能是因为我们的想法是错误的，我们假设的形式实际上不是一个上限。或者——这可能是大多数方程的情况——我们的想法是正确的，但我们缺乏证明它是上限的数学技术；换句话说，对于我们假设的$\eta_K$有举行$\|u-u_h\|_K \le \eta_K$，但不能证明不等式成立。

在这种情况下，我们称$\eta_K$误差指标：严格来说，它不是一个估计量，但它仍然表示误差的大小，正如数值实验所验证的那样。因此，我们不能用它来保证误差小于 5% 的计算，但我们仍然可以用它来细化网格，也许可以做一些事情，比如恢复方法来得到一个均匀的更好的近似$\tilde u_h$. 在实践中，细化网格可能是最常见的用途：您希望减小误差估计表明误差较大的区域中的单元大小，并在误差估计表明误差已经很小的区域保持网格粗糙.

我会推荐 JT Oden 关于 FEM 数学基础的书，以及 M. Ainsworth 的论文，至少这是我作为土木工程师自学所读的。学习数学需要时间，但我强烈建议这样做。

本质上，如果你知道错误，你就知道解决方案。使用数学，您可以通过计算上限或下限或两者兼而有之来估计误差。您可以在获得近似解之前或之后执行此操作，即先验或后验。如果下限和上限更接近，则误差估计器会更好。误差估计器必须是有效的，这样才能优化解决方案（fe 使网格更密集），它会收敛到精确的误差。它的计算成本必须便宜，至少比均匀网格细化和解决细化问题要快。

有限元很容易实现，真正的难点是推导和实现一个好的误差估计器，需要更长的时间。这就是为什么许多开发混合有限元素的原因，因为错误评估器内置于实现中，或者应用错误指示器。

误差指标总是后验的并且没有界限，一旦分析了一系列后续网格细化，它没有证据可以收敛到精确的误差。它只是说明解决方案可能存在问题。将其应用于驱动网格自适应性并不能保证您会收敛。

Zienkiewicz-Zhu 是错误指示器。但是，作为错误指示器的示例，我喜欢使用材料/配置/Elsheby 力。均质体和弹性问题中的材料力为零。但是，如果解不准确，则在网格节点上计算的材料力不为零。因此，如果计算网格节点上的材料力，并且这些力不为零，他或她就知道这是解决方案中的错误。但是，如果我们尝试移动网格的节点，以最小化该材料力，我们很快就会发现没有必要改进解决方案。在材料力的方向上移动网格节点最初可以改进解决方案，但最终会创建一个具有较差近似质量的扭曲网格。

最近我们录制了关于混合元素和误差估计的视频， https://youtu.be/T40n76UwKo0。那应该回答一些问题。