第二个方程中的运算是二进积的散度。两个向量的二进积是一个方阵。在这种情况下，一个矩阵，其中。$vv$$3\times3$$(vv)_{ij}=v_iv_j$

该乘积的散度由 给出，您可以在此处找到向量恒等式的详细信息。第一项由于不可压缩性约束而消失，。

$$\nabla\cdot(vv)=(\nabla\cdot v)v+v\cdot\nabla v$$ $\nabla\cdot{v}=0$

张量符号在这里作为一种替代方法很有帮助 - 并且是一种很好的证明方式 - 其他答案中提到的向量微积分恒等式（如果您不记得它们）。的第 i 个分量的 Navier-Stokes 方程为：$v$

$$\partial_t v_i + \sum_{1\le j \le 3}v_j \partial_j v_i = -\partial_i p + \sum_{1\le j \le 3}\partial_j\partial_j v_i$$

我使用速记符号和。$\partial_t=\frac{\partial}{\partial t}$$\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$

不可压缩性为：

$$\sum_{1\le j \le 3}\partial_j v_j = 0$$

现在让我们用这个符号来用红色表示术语的第 i 个分量：

$$\left\{\boldsymbol{\nabla \cdot }( \boldsymbol{vv}) \right\}_i =\boldsymbol{\nabla \cdot }(v_i \boldsymbol{v})= \sum_{1\le j \le 3} \partial_j\left( v_i v_j\right)$$

我们可以分配导数，并使用不可压缩性：

$$\left\{\boldsymbol{\nabla \cdot }( \boldsymbol{vv}) \right\}_i =v_i \underbrace{\sum_{1\le j \le 3} \partial_j v_j}_{=0} + \sum_{1\le j \le 3}v_j \partial_j v_i = \boldsymbol{v \cdot\nabla} v_i$$

这就是对于不可压缩流，平流可以写成这两种不同（但等效）的形式的方式。写为分歧，然后很容易得出控制体积上的能量预算。