计算科学 - 如何使用域分解对 FEM 问题进行预处理？ - 吾爱随笔录

计算科学有限元域分解

2021-12-15 19:18:15

假设我有一个 FEM 代码，它会产生以下问题：

A x = b .

$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}.$ 为了用迭代方法更有效地解决这个问题，我想对其进行预处理，

B A x = B b,

$\mathbf{BAx} = \mathbf{Bb},$ 使用域分解。这是域分解方法的常见应用。我的问题是：我如何检索

B

$\mathbf{B}$ 从施瓦茨域分解方法？

例如，泊松问题的交替 Schwarz 算法首先解决了这个问题：

- \nabla^{2} u = f i n Ω_{1}, u_{1}^{n} = g o n \partial Ω_{1} ∖ Γ_{1}, u_{1}^{n} = u_{2}^{n - 1} |_{Γ_{1}}

$-\nabla^2u=f\quad\rm{in}\ \Omega_1,\\ u_1^n=g\quad \rm{on}\ \partial\Omega_1\backslash\Gamma_1,\\ u_1^n=u_2^{n-1}|_{\Gamma_1}$

然后解决这个问题：

- \nabla^{2} u = f i n Ω_{2}, u_{2}^{n} = g o n \partial Ω_{2} ∖ Γ_{2}, u_{2}^{n} = u_{1}^{n - 1} |_{Γ_{2}}

$-\nabla^2u=f\quad\rm{in}\ \Omega_2,\\ u_2^n=g\quad \rm{on}\ \partial\Omega_2\backslash\Gamma_2,\\ u_2^n=u_1^{n-1}|_{\Gamma_2}$ 在哪里

Ω = Ω_{1} \cup Ω_{2}

$\Omega = \Omega_1\cup \Omega_2$ 是全局域，并且

Γ_{i}

$\Gamma_i$ 表示与其他子域重叠的边界部分。通过反复求解这些方程，我对全局解得到越来越好的估计

u_{1}

$u_1$ 和

u_{2}

$u_2$ . 现在假设我想用它来做前置条件

A x = b

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ ，我怎么做？我如何获得

B

$\mathbf{B}$ 从这些解决方案中提早提到矩阵？

最后，我对加法施瓦茨和乘法施瓦茨也很感兴趣。

2个回答

不要使用域分解方法。它们来自 1990 年代，但我们今天有更好的方法来预处理问题。他们都致力于解决全局问题，而不是子域问题。一个例子是代数多重网格方法。

让我们考虑抽象线性问题

A x = b,

$\mathcal{A} x = b \,,$ 在哪里

A

$\mathcal{A}$ 是一个线性算子并且

x

$x$ 和

b

$b$ 某个域上的一些功能。

为了回答您的问题，让我首先讨论一下预处理器应该做什么。选择一个预处理器，使得 $\mathcal{B} \approx \mathcal{A}^{-1}$ , 意味着 $\mathcal{B} \mathcal{A} \approx I$ ，这是一个很容易解决的系统。

重要的是要注意，预处理器应该计算近似值 $\mathcal{A}^{-1} b$ 对于任何可能的右手边 $b$ . 现在的问题是，什么对应于 $b$ 在你的问题中。

在一般情况下 $b$ 是您正在解决的问题的输入，即 $b$ 由组成 $f$ 和边界函数 $g$ . 然而，让我们为简单起见，假设 $g=0$ ，因此，预条件子的输入只是函数 $f$ .

在这个情况下 $\mathcal{B} b$ 是用右手边执行交替施瓦茨程序的几个步骤的结果 $f=b$ ，从一些（最好是零）初始迭代开始。

因此，如果你想获得矩阵 $B$ ，你必须在你的分段多项式函数空间上写下代表这个过程的矩阵。右手边 $b$ ( $= f$ )，将是一些分段多项式函数。

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