计算科学 - 关于离散H1H1规范 - 吾爱随笔录

关于离散H1H1规范

计算科学 pde 误差估计 l2-范数

2021-12-02 23:06:49

我需要了解“离散”的正确表达方式是什么 $H^1$ - 函数 v 的范数（当然需要在 $H^1$ ）。

根据定义，

| | v | |_{H^{1}}^{2} = | | \nabla v | |_{2}^{2} + | | v | |_{2}^{2}

$||v||_{H^1}^2 = ||\nabla v||_{2}^2 + ||v||_2^2$

到目前为止，我仍然处于连续情况下。在实践中，如果我需要计算它，我必须做离散 $L^2$ 梯度范数和 $v$ .

为了 $v$ 我有：

| | v | |_{2}^{2} = h \sum_{i = 0}^{N} v (x_{i})^{2}

$||v||_2^2 = h \sum_{i=0}^{N} v(x_i)^2$

但是呢？

| | \nabla v | |_{2}^{2}

$||\nabla v||_2^2$ ? 我怎样才能近似它？

1个回答

假设一维和等距网格点具有间距和某种形式的齐次边界条件，我们可以使用，其中是拉普拉斯算子的有限差分离散化，通常是沿子/主/超对角线的值分别为我很确定这个近似值是。这个公式来自分部积分： $h$ $\|\nabla v\|^2\approx -h\sum_{i=1}^nv(x_i)D_2v(x_i)$ $D_2$ $(1,-2,1)/h^2$ $O(h)$

- \int_{Ω} v Δ v d x = \int_{Ω} ‖ \nabla v ‖^{2} d x - \int_{\partial Ω} v \nabla v \cdot d S .

$-\int_\Omega v\Delta vdx = \int_\Omega\|\nabla v\|^2dx-\int_{\partial\Omega}v\nabla v\cdot dS.$ 任何使边界项消失的边界条件都会使这种近似起作用。只要您可以近似拉普拉斯算子和积分，这也可以扩展到更高的维度，如果您已经在某种方案中离散化事物，这通常不会太难。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇前平滑和后平滑步骤的数量如何影响几何多重网格的渐近收敛速度？下一篇如何理解 Krylov 子空间正交基的选择？