计算科学 - 适用于对流扩散系统的有限差分方法？ - 吾爱随笔录

适用于对流扩散系统的有限差分方法？

计算科学有限差分

2021-11-30 23:39:43

我正在尝试解决 PDE 系统

$H_{t} = \frac{0.3}{0.7} - \frac{0.005 B f(h(H))}{\theta} - \frac{0.3 f(h(H))}{0.7} + \frac{500}{0.7} (HH_x)_x + (HH_y)_y$

$N_t = \frac{N_{in} - 0.002 [N] B f(h(H)) + 0.1 \frac{0.002}{g} B - 0.1 N}{0.7 H} + 10 ([N]_{xx} + [N]_{yy}) + \frac{500}{0.7} ([N] H_x)_x + ([N] H_y)_y$

$B_t = g [N] B f(h(H)) - 0.3 B + 2 (B_{xx} + B_{yy})$

使用线条的方法。哪些有限差分方法适合尝试解决方案？我能找到的大多数示例要么仅针对 1 个空间维度，要么针对单个变量。由于这是一个对流扩散系统

1个回答

这 $B$ 方程是抛物线的，您可以使用标准中心有限差分。这 $H$ 方程也看起来像抛物线，所以你可以做一个中心差，比如

(H H_{x})_{x} = \frac{H_{i + 1 / 2} (H_{i + 1} - H_{i}) - H_{i - 1 / 2} (H_{i} - H_{i - 1})}{h^{2}}, H_{i + 1 / 2} = \frac{H_{i} + H_{i + 1}}{2}

$(H H_x)_x = \frac{H_{i+1/2}(H_{i+1}-H_i) - H_{i-1/2}(H_i - H_{i-1})}{h^2}, \qquad H_{i+1/2}=\frac{H_i + H_{i+1}}{2}$ 等效地，我们可以近似为

(H H_{x})_{x} = \frac{(H^{2})_{x x}}{2} = \frac{H_{i - 1}^{2} - 2 H_{i}^{2} + H_{i + 1}^{2}}{2 h^{2}}

$(HH_x)_x = \frac{(H^2)_{xx}}{2} = \frac{H_{i-1}^2 - 2H_i^2 + H_{i+1}^2}{2h^2}$ 如果

H

$H$ 变为零或负，这可能是有问题的，因为它对应于消失粘度或负粘度。这是否发生在您的模型中？

中间方程没有时间导数吗？为了 $N_{xx}$ 等等，你可以做中心差异和术语，比如 $(NH_x)_x$ 可以像上面的第一个公式一样再次进行中心差分。请注意，这些建议只是基于一致性，您必须查看这些方案的稳定性。

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