如果您的 PDE 和离散化是线性的，那么您的数值方法可以写为

在哪里$A$是一个方阵。研究稳定性的一种方法是查看一些诱导矩阵范数$A$：如果大于1，离散化不稳定。这是完全通用的，可能是您正在寻找的。下面我解释一下冯诺依曼分析只是这种一般方法的一个特例。

如果$A$是一个正规矩阵（即，如果$AA^T = A^T A$)，然后为了显示稳定性，检查的特征值就足够了$A$模数不大于 1。这是因为对于正态矩阵，诱导的 2 范数等于最大特征值的模。

如果问题具有周期性边界条件并使用标准有限差分离散化，则$A$将是一个循环矩阵。循环矩阵是正规的，循环矩阵的特征向量只是离散的傅里叶模式。这使得计算它们的特征值变得容易，而冯诺依曼分析只是一种确定这些特征值的方法。