计算科学 - 混合有限元法求解达西流时网格尺寸对总通量的影响 - 吾爱随笔录

我现在用混合有限元法求解达西流。Dary 流是其中是通量速度，是水头，是边界的法线方向。

\begin{aligned} k^{- 1} q + \nabla h = 0, in Ω \\ \nabla \cdot q = 0, in Ω, \\ h = h_{D}, on \partial Ω_{D}, \\ q \cdot n = q_{N} = 0, on \partial Ω_{N}, \end{aligned}

$\begin{equation}\begin{aligned}k^{-1}\mathbf{q} + \nabla h=0, \text{ in } \Omega\\ % \nabla\cdot \mathbf{q} = 0, \text{ in } \Omega, \\ % h =h_D, \text{ on } \partial\Omega_D, \\% \mathbf{q}\cdot \mathbf{n} = q_N = 0, \text{ on } \partial\Omega_N,% \end{aligned}\end{equation}$

q

$\mathbf{q}$

h

$h$

n

$\mathbf{n}$

边界条件如下图。

混合有限元方法只是确定单元边缘的法向通量速度和平均头部的有限元方法，如下图所示。我使用元素。 $RT0$

然后，我只计算通过域的总通量。更准确地说，通量在顶部边界进入，在底部边界离开。总通量是通过将通量速度和相关边长的乘积相加来计算的，即：其中是附着在顶部边界的元素边数，是边缘的法向通量速度，是边长。

Q_{i n} = \sum_{i = 1}^{N B} q_{e t, i} \times L_{e t, i},,

$\begin{equation}Q_{in} = \sum\limits_{i = 1}^{NB}q_{et, i} \times L_{et, i},\end{equation},$

N B

$NB$

q_{e t, i}

$q_{et, i}$

L_{e t, i}

$L_{et, i}$

如果模型域是规则的，例如正方形/矩形，则网格大小不会影响总通量值。

但是，如果域不规则，例如梯形域，如下图所示。

总通量受网格/单元大小的显着影响。关系是，网格尺寸越小，总通量越高，如下图所示。

我的问题是

为什么总通量随着网格尺寸的减小而增加？为什么会这样？
如果网格大小几乎为零，这是否意味着：总通量将是真实值？