计算科学 - 如何确定求积规则的准确顺序 - 吾爱随笔录

这里有点简单的问题。最近，我正在使用高斯正交规则评估一些线积分 $[-1,1]$ 横坐标在哪里 $x_{i}$ 只是勒让德多项式的根 $P_{n}(x)$ 权重是

w_{i} = \frac{- 2}{(1 - x_{i}^{2}) [P_{n}^{^{'}} (x_{i})]^{2}}

$w_{i} = \frac{-2}{(1-x_{i}^{2})[P_{n}^{'}(x_{i})]^{2}}$

令人尴尬的是，我花了一整天的时间试图调试我的代码，并煞费苦心地手工进行线积分进行比较，然后才意识到我没有使用足够的正交点。

从维基页面（http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_quadrature#Error_estimates），我认为高斯求积规则 $n$ 对多项式是准确的 $2n-1$ .

我使用的是 12 点规则，而我的被积函数都是阶数最多为 3 的多项式。事实证明这还不够，但是将正交点的数量增加到 20 可以解决所有问题。

任何人都可以解释或建议一些关于正交规则顺序的确切含义的阅读吗？

import numpy.polynomial.legendre as leg import numpy.polynomial import numpy as np def F(x,c): V=numpy.polynomial.polynomial.polyvander(x,c.size) i=1./(np.arange(c.size)+1) # integration factor return np.dot(i*V[:,1:],c) def f(x,c): V=numpy.polynomial.polynomial.polyvander(x,c.size-1) return np.dot(V,c) [x,w]=leg.leggauss(2) c=np.random.randn(4) a1=F(1,c)-F(-1,c) a2=np.sum(f(x,c)*w) print a1 print a2 print a1-a2 Out[13]: array([ 0.])