计算科学 - 变分公式 - 吾爱随笔录

我想最小化：

J = \int_{Ω} ‖ \nabla u - \nabla g ‖^{2} + λ ‖ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla u . v | |^{2} dx dy dt

$J = \int_{\Omega} \|\nabla u - \nabla g\|^2 + \lambda \|\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla u.v||^2 ~\text{dx dy dt}$ 其中

u (x, y, t)

$u(x,y,t)$ 是未知函数，积分在固定时空域

Ω

$\Omega$ 上，

\nabla

$\nabla$ 是空间梯度，

v (x, y, t)

$v(x,y,t)$ 是速度（矢量）场。

g (x, y, t)

$g(x,y,t)$ 和

v (x, y, t)

$v(x,y,t)$ 是已知的。

λ

$\lambda$ 是一个常数。

使用 u 的邻域计算并消除的变化，我得到： $J$ $u+\epsilon h$ $u$

‘ ‘ \frac{\partial J}{\partial u} "= \int_{x y t} - Δ (u - g) . h + λ (\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla u . v) (\frac{\partial h}{\partial t} + \nabla h . v) = 0

$``\frac{\partial J}{\partial u}" = \int_{xyt} -\Delta (u-g).h + \lambda (\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla u.v)(\frac{\partial h}{\partial t} + \nabla h.v) = 0$

如果仅存在术语 $\Delta (u-g).h$ ，我可以直接说如果所有 $h$ 的积分为零，则 $\Delta (u-g)$ 局部为零。我会得到标准的泊松方程。

但是，添加另一个项让我想知道如何将这个表达式转换为局部 PDE 以通过有限差分求解。任何想法？

谢谢！