我想使用有限元方法模拟正弦平面波在矩形域中的传播。首先，波应该在流体介质中传播，然后会遇到一定厚度的固体材料壁，然后继续在流体中传播。我知道我必须考虑一些吸收材料层，以避免波反射的杂散效应。我在文献中发现最适合这类问题的是 PML。

我可以用下图说明我的目标

理想情况下，我会使用开源有限元软件。我一直在尝试使用 FEniCS 进行这项工作，并且在没有 PML 的情况下，我设法在时域模拟中获得了一些不错的结果。但是，我找不到实现 PML 的方法。许多示例使用频域方法，我不确定是否可以将其用于此类问题。

经过一些研究，我发现了一篇论文，其中作者开发了适用于非线性问题的时域方程的 PML 混合公式。作者还给出了这些方程的弱形式。但据我所知，FEniCS 要求方程为双线性形式$a(u,v) = L(v)$， 要么$F(u,v)=0$- 没有混合配方。此外，对于非专家来说，编码似乎有点复杂。

从那以后我一直试图将他的方程改写成这种不同的弱形式，但我没有有限元分析的正式背景，所以到目前为止我一直没有成功。如果你愿意，我可以分享我的进步。

关键是，我相信必须有一种更简单的方法来完成这项工作。所以我想从你那里得到一些我应该遵循的方法的建议，或者给我一些有意义的参考来帮助我实现我的目标。

提前致谢！

编辑

一般波动方程是$\partial ^2 u / \partial t ^2 = c^2 \nabla ^2 u + f$.

弱形式是

$a(u,v) = \int_{\Omega} (vu^{n+1} + c^2 \Delta t^2 \nabla v \nabla u^{n+1})d \Omega$

$L_{n+1}(v) = \int_{\Omega}(2u^{n} - u^{n-1} + \Delta t^2 f^{n+1})vd \Omega$

指数在哪里$n$表示时间步长。

我已经通过组装一个线性系统成功地将其实现到 FEniCS$a$,$L$和边界条件。

下一步是实现 PML。我见过很多使用频域公式的工作，但正如我所提到的，我不确定如何使用它们。所以我找到了这篇论文，作者在其中开发了一组混合公式方程，这些方程解释了 PML 并且在时域中。考虑以下流体域：

（等式 5.9）

及其弱形式

（等式 5.10a）

(eq. 5.10c)

问题是我无法将它们翻译成 FEniCS 语法。有两个方程，FEniCS 只能求解以下之一：

• 线性系统$Ax=b$
• 线性变分问题$a=L$
• 非线性变分问题$F=0$

这意味着我必须以某种方式将整套控制方程重写为 FEniCS 语法。我找不到解决办法。我尝试添加 eqs。5.10a 和 c 一起使它们等于 0，以便使用非线性变分求解器。

但它没有用。不仅数学变得过于复杂，而且编码也变得混乱。我觉得我必须在 FEA 中攻读博士学位才​​能知道如何编写代码（我是一名研究生）。相反，我正在寻找更容易理解和编码的东西。