计算科学 - 如何使用变分表达式导出给定微分方程的泛函？ - 吾爱随笔录

计算科学有限元

2021-12-05 09:01:59

本书摘录 - Kwon 等人使用 Matlab 进行 FEM。

在附图中，我想了解如何得出方程 2.5.1，即变分表达式。问题被尽可能地定义，并且进一步的推导顺利进行。

完整的推导如下图所示：

完全推导

我对 eq 2.1.1 如何导致 eq 2.5.1 感兴趣……或者更确切地说，变分运算符 (del) 是如何工作的？

1个回答

一般来说，变分问题

I [u] = \int_{a}^{b} (\frac{1}{2} u_{x} (x)^{2} + V (x, u (x))) d x

$I[u]=\int_a^b \Bigl(\tfrac12 u_x(x)^2+V(x,u(x))\Bigr)\,dx$

导致泛函导数

δ I [u, δ u] = \int_{a}^{b} (u_{x} (x) δ u_{x} (x) + V_{u} (x, u (x)) δ u (x)) d x

$δ I[u,δu]=\int_a^b \Bigl(u_x(x)δu_x(x)+V_u(x,u(x))δu(x)\Bigr)\,dx$

并在部分整合后

δ I [u, δ u] = [u_{x} (x) δ u (x)]_{a}^{b} + \int_{a}^{b} (- u_{x x} (x) + V_{u} (x, u (x))) δ u (x) d x

$δ I[u,δu]=[u_x(x)δu(x)]_a^b+\int_a^b \Bigl(-u_{xx}(x)+V_u(x,u(x))\Bigr)δu(x)\,dx$

边界条件导致，用给定的方程识别，因此。 $δu(a)=0=δu(b)$ $u_{xx}=V_u(x,u)$ $V_u=u-x$ $V(x,u)=\tfrac12u^2-xu$

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