计算科学 - 二阶偏微分方程的边界条件 - 吾爱随笔录

二阶偏微分方程的边界条件

计算科学边界条件

2021-12-06 09:04:01

对于二阶偏微分方程，例如热传导方程，是否可以确定稳态（或甚至瞬态）具有两个狄利克雷条件的解？我对此有两个不同的问题 $\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\alpha}{C_p} \nabla^2 T$

据我了解，对于和的所有等值比率，该解决方案都不是唯一的。所以两个狄利克雷条件并没有说明扰动随着一个边界条件的时间变化而传播的速度。因此，只有和和的特定值而不是比率的解曲线。 $\alpha$ $C_p$ $T$ $\nabla T$ $\alpha$ $C_p$
积分一维二阶（稳态）方程得到其中。因此，两个狄利克雷条件是的两个值，因此仍然没有给我们固定解曲线所需那么在这种情况下，怎么可能假设我们知道只有两个狄利克雷条件的解呢？ $T=C_1x+C_2$ $C_1 = \frac{\partial T}{\partial x}$ $C_2$ $C_1$

1个回答

在我开始回答你的问题之前，我只需要澄清一个关键点。

关于“唯一性”的概念

您在问题中使用“独特”一词的方式不正确。“唯一性”在数学上下文中具有非常精确的含义，并且与您使用它的方式非常不同。当和时，它们产生相同的解曲线。但是，这并不意味着 PDE 的解不是唯一的。唯一性是指两个完全不同的函数是否用相同的数据求解相同的偏微分方程（即数据=系数和初始/边界条件）。更恰当的说法是，具有相同比率的问题是等价问题，并且如果存在相同的解决方案，则必须具有相同的解决方案。 $\alpha$ $C_p$ $\frac{\alpha}{C_p}$

请记住这一点，因为我在下面更直接地回答您的问题：

对于纯狄利克雷和混合边界条件，稳态和瞬态 PDE 都很好（在系数和初始/边界条件的充分假设下）。因此，解决方案是存在的，是唯一的，并且持续依赖于数据。因此，您可以仅使用狄利克雷边界条件唯一地确定稳态解。瞬态解也可以由狄利克雷边界条件和初始条件的组合唯一确定。
您可以通过建立方程组来确定解析解（一维情况）的系数。假设 PDE 在和的边界条件分别为和。然后，系数和由方程组唯一确定 $x_1$ $x_2$ $g(x_1)=g_1$ $g(x_2)=g_2$ $C_1$ $C_2$

\begin{aligned} C_{1} x_{1} + C_{2} = g_{1} \\ C_{1} x_{2} + C_{2} = g_{2} \end{aligned}

$\begin{align}C_1x_1 + C_2 = g_1\\ C_1x_2+C_2=g_2\end{align}$

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