我有许多均匀分布的函数样本，这些样本是多项式的$1/x$在哪里$x$是一个连续变量$x\in\left[a,b\right]$， IE

$$f(x_i)=\sum_{n=0}^{N} f_n x_i^{-n}.$$ 我想使用某种局部插值函数，如帽子函数（线性插值），但它非常不准确（大约 10% 的相对误差在$L_2$规范）的值$x$靠近$a$. 靠近$b$，插值要好得多。我还没有实现高阶局部拉格朗日插值多项式。我想知道是否有人知道更适合这个问题的局部插值方法。以供参考，$N$可能从大约 5 到 1000 不等，样本数量反映了这一点。如果一个好的插值方法需要不同的间距，我也不完全喜欢均匀分布的样本。我的想法是，也许将采样点集中在更靠近$a$并在均匀间隔的变换网格上进行插值可能会起作用。