计算科学 - 构建二阶椭圆 PDE 的最小化优化问题 - 吾爱随笔录

计算科学优化 pde 数值分析离散化椭圆pde

2021-12-18 19:47:59

我正在解决椭圆 PDE 问题，为此，欧拉方案如下所示：

\nabla [γ (| \nabla u |^{2}) \nabla u] = 0,

$\nabla [\gamma ( |\nabla u|^2) \nabla u] = 0,$ 在哪里

γ (| \nabla u |^{2}) = (1 + | \nabla u |^{2})^{- 1 / 2} .

$\gamma(|\nabla u|^2) = (1 + |\nabla u|^2)^{-1/2}.$

我的目标是为上述问题定义最小化问题。有人对它的外观有什么建议吗？或者一些推荐的文献？

2个回答

对于您正在求解的特定方程（称为最小表面方程），您尝试最小化的函数是

J (u) = \int_{Ω} \sqrt{1 + | \nabla u |^{2}} d x .

$J(u) = \int_\Omega \sqrt{1 + |\nabla u|^2} \; dx.$

您可以在第 31.5 课中找到方程的推导，以及对求解方法的讨论，然后在此处： http: //www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html。当然，同样的材料还有许多其他来源。例如，几乎每一本关于变分法的书都会有你的例子。

让我们假设，您已经离散化问题并且在您获得评估的每一点上 $g_{ij}$ . 所以 $g(u) = 0$ 是你的非线性方程组。

现在让 $\gamma$ 为范数函数定义为 $\gamma(x) = || g(x)||^2$ .

然后你的非线性方程。问题等价于问题

minimize γ (x) .

$\text{minimize} \ \ \gamma(x) .$

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